人教版八年级上《第12章全等三角形》单元测试(7)含答案解析

《第12章全等三角形》一、解答题1．如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求证：DF=EF．2．如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．3．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．4．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．5．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．6．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，求证：BP=2PQ．7．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．8．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P为△ABC内一点，∠PBC=∠PCA，求∠BPC的值．9．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（）A．等于顶角B．等于顶角的一半C．等于顶角的2倍D．等于底角的一半10．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（）A．腰上的高B．腰上的中线C．底角的平分线D．顶角的平分线11．如图，已知△ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，DE∥BC交于E，交AC于F，求证：EF=BE﹣CF．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、解答题1．如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求证：DF=EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先利用“角角边”证明△ABE和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，然后求出BD=CE，再利用“角角边”证明△BDF和△CEF全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC，∵AE=AD，∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴DF=EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并求出BD=CE是解题的关键．2．如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】延长CD到G，使DG=BE，利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AE，全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠BAE，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后结合图形整理即可得证．【解答】证明：如图，延长CD到G，使DG=BE，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∴∠ADG=∠B，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，∵GF=DG+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记三角形全等的判定方法和正方形的性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．3．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在AC上截取AE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证．【解答】证明：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE=BD，∠AED=∠ABC，∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，∴∠CDE=∠C，∴CE=DE，∵AE+CE=AC，∴AB+BD=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．【点评】此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．5．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】EF垂直平分AD，则可得AF=DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．【解答】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．【点评】熟练掌握线段垂直平分线的性质及角平分线的性质．6．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，求证：BP=2PQ．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】证明题．【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠1=∠2，∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°，∴BP=2PQ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解题的关键．7．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H．构建全等三角形△ABC≌△EHC（ASA），则由全等三角形的性质得到AB=HE；然后结合已知条件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代换证得AB=DE．【解答】证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．8．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P为△ABC内一点，∠PBC=∠PCA，求∠BPC的值．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，即可求得∠ACB=∠ABC，则∠PBC+∠PCB即可求得，根据三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠ABC=65°．又∵∠PBC=∠PCA，∴∠PBC+∠PCB=65°，∴∠BPC=115°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个内角相等，以及三角形的内角和定理．9．等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角（）A．等于顶角B．等于顶角的一半C．等于顶角的2倍D．等于底角的一半【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】要求高与底边所夹的角与其它角的关系，首先要画出图形，根据已知结合等腰三角形及直角三角形的性质进行分析推理，答案可得．【解答】已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB与点D求证：∠OCE=∠CAB证明：作BC边上的高AE，与CD相交于点O∵∠AOD=∠COE，AE⊥BC∴∠DAO=∠ECO根据等腰三角形的三线合一定理，AE为△ABC的顶角平分线．∴∠BAE=∠CAE=∠OCE∴∠OCE=∠CAB∴等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；做题时，要明确等腰三角形内角的转化，作出辅助线是解答本题的关键．10．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（）A．腰上的高B．腰上的中线C．底角的平分线D．顶角的平分线【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据三角形的面积公式S△=底×高求得S△ABD、S△ACD、S△ABC；又由图易知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，分析到这里，问题就迎刃而解了．【解答】如图：△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，CG⊥AB于G，∵ED⊥AB，∴S△ABD=AB•ED；∵DF⊥AC，∴S△ACD=；∵CG⊥AB，∴S△ABC=；又∵AB=AC，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴AB•CG=AB•ED+AC•DF，∴CG=DE+DF．∴等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点；辅助线的作出是解答本题的关键．11．如图，已知△ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点，DE∥BC交于E，交AC于F，求证：EF=BE﹣CF．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线得出∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得出∠EDB=∠CBD，推出∠ABD=∠EDB，推出DE=BE，同理推出DF=CF，即可得出答案．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，同理DF=CF，∵EF=DE﹣DF，∴EF=BE﹣CF．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，关键是推出DE=BE和CF=DF．