人教版八年级上第12章全等三角形热门考点整合应用训练含答案

全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．两个概念概念1：全等形1．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：【来源：21cnj*y.co*m】A与________对应；B与________对应；C与________对应；D与________对应．(第1题)概念2：全等三角形2．如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．(第2题)3．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关系？为什么？21cnjy.com(第3题)两个性质性质1：全等三角形的性质4．【2016·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；2·1·c·n·j·y(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由．(第4题)性质2：角平分线的性质5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝BC＋FC.21·世纪*教育网(第5题)两个判定判定1：全等三角形的判定6．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)．(第6题)判定2：角平分线的判定7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)猜想写出AB＋AC与AE之间的数量关系并给予证明．(第7题)四个技巧技巧1：构造全等三角形法8．如图∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.21教育网(第8题)9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC＝∠DCB.(第9题)技巧2：构造角平分线法10．【中考·黄冈】已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.21·cn·jy·com(第10题)技巧3：截长(补短)法11．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.(第11题)技巧4：倍长中线法12．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.(第12题)两种思想思想1：建模思想13．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：【来源：21·世纪·教育·网】①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.21*cnjy*com请你证明他们做法的正确性．(第13题)思想2：转化思想14．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？(第14题)答案1．M；N；Q；P2．解：AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠B与∠C，∠2与∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．2-1-c-n-j-y3．解：AD⊥BC.理由略．4．解：(1)完成作图，如图所示．(第4题)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，即BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，即BE＝CD.5．证明：如图，过点E作EG⊥AF，垂足为点G.连接EF.∵∠BAE＝∠EAF，∴AE为∠BAF的平分线．又∵EB⊥AB，EG⊥AF，∴EB＝EG.在Rt△ABE和Rt△AGE中，EB＝EG，AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，∴AB＝AG.∵在正方形ABCD中，AB＝BC，∴BC＝AG.又∵点E是BC的中点，∴BE＝EC＝EG.在Rt△EGF和Rt△ECF中，EG＝EC，EF＝EF，∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)．∴GF＝CF，∴AF＝AG＋GF＝BC＋FC.(第5题)6．(1)证明：由题意得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°.∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，【出处：21教育名师】∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)解：由题意得AD＝4a，BE＝3a.由(1)知△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a.∵DE＝35cm，∴a＝5cm.21教育名师原创作品答：砖块的厚度a为5cm.7．(1)证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠AFD＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.21*cnjy*com(2)解：AB＋AC＝2AE.证明如下：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠CAD，∠E＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.又∵BE＝CF，∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.8．证明：过点B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为F，G.在△ABF和△ACG中，∠BFA＝∠CGA＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)．∴BF＝CG.在Rt△BEF和Rt△CDG中，BF＝CG，BE＝CD，∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL)．∴∠AEB＝∠ADC.点拨：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【版权所有：21教育】9．证明：分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.在△ABN和△DCN中，AN＝DN，∠A＝∠D，AB＝DC，∴△ABN≌△DCN(SAS)．∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.在△NBM和△NCM中，NB＝NC，BM＝CM，NM＝NM，∴△NBM≌△NCM(SSS)．∴∠NBC＝∠NCB.∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，即∠ABC＝∠DCB.点拨：证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为了已知条件．分散证明，也是几何证明中的一种常用技巧．10．证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠EAF的平分线．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.11．证明：(方法一——截长法)如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.在△ABE和△FBE中，BA＝BF，∠1＝∠2，BE＝BE.∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC和△EDC中，∠6＝∠D，∠3＝∠4，EC＝EC，∴△EFC≌△EDC(AAS)，∴FC＝DC，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.(方法二——补短法)如图②，延长BA至点F，使BF＝BC，连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，∴∠1＝∠2＝12∠ABC，∠3＝∠4＝12∠BCD.在△BEF和△BEC中，BF＝BC，∠1＝∠2，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC(SAS)．∴EF＝EC，∠F＝∠3＝∠4.∵AB∥CD，∴∠7＝∠D.在△AEF和△DEC中，∠7＝∠D，∠F＝∠4，EF＝EC.∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD.∵BC＝BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD.(第11题)12．证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，BE＝AE，∠BEF＝∠AEC，EF＝EC，∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠EAC，BF＝AC.过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGB＝90°.∵∠ABC＝∠ACB，AG＝AG，∴△AGC≌△AGB.∴AC＝AB.又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠CBD＝∠BAC＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF和△CBD中，CB＝CB，∠CBF＝∠CBD，BF＝BD，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.(第12题)13．证明：由做法知：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC(ASA)．∴AB＝ED，即他们的做法是正确的．14．解：连接BF，EF.∵点F是CD的中点，∴CF＝DF.在△BCF和△EDF中，BC＝ED，∠C＝∠D，CF＝DF，∴△BCF≌△EDF(SAS)．∴BF＝EF.在△ABF和△AEF中，AB＝AE，BF＝EF，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF(SSS)．∴∠BAF＝∠EAF.∴AF平分∠BAE.