小专题(十) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A．5B．6C．7D．82．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A．7个B．6个C．5个D．4个3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．解：设∠A，∠B，∠C是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝12∠B.设∠A＝x°，则∠B＝2x°.①若∠B是顶角，则∠A，∠C是底角，于是有∠C＝∠A＝x°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋x＝180.解得x＝45，故∠A＝∠C＝45°，∠B＝90°；②若∠B是底角，∵∠A≠∠B，∴∠A是顶角，∠C＝∠B＝2x°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180.解得x＝36，故∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°.综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．6．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：①如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且∠AED＝50°，则∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；②如图2，垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且∠AED＝50°，则∠EAD＝40°，∠BAC＝140°，所以∠B＝∠C＝20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？解：设∠A为顶角，则∠ABC、∠ACB为底角．(1)若∠A为锐角，如图1，作BD⊥AC于点D，根据题意有BD＝12AB，∠BDA＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°；(2)若∠A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若∠A为钝角，有三种情况：①如图2，作AD⊥BC于点D，根据题意有AD＝12AB，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°；②如图3，作BD⊥CA的延长线于点D，根据题意有BD＝12BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°；③如图4，作BD⊥CA的延长线于点D，根据题意有BD＝12AB，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.8．AC为等腰△ABD的腰BD上的高，且∠CAB＝60°.求这个三角形各内角的度数．解：①如图1，高AC在△ABD的内部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝75°；②如图2，高AC在△ABD的外部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°.所以∠ABD＝150°.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝15°；③如图3，高AC在△ABD的外部，因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，所以∠B＝30°.因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.所以∠ADB＝120°.综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.