人教版数学九年级下《27.1图形的相似》测试(含答案解析)

图形的相似测试时间：60总分：100一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.下列四组图形中，一定相似的图形是()A.各有一个角是30∘的两个等腰三角形B.有两边之比都等于2：3的两个三角形C.各有一个角是120∘的两个等腰三角形D.各有一个角是直角的两个三角形2.下列说法正确的是()A.矩形都是相似图形B.各角对应相等的两个五边形相似C.等边三角形都是相似三角形D.各边对应成比例的两个六边形相似3.下列结论中，错误的有：()①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形；⑤所有的矩形不一定相似．A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列图形一定是相似图形的是()A.任意两个菱形B.任意两个正三角形C.两个等腰三角形D.两个矩形5.在下面的图形中，相似的一组是()A.B.C.D.6.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.下列图形一定相似的是()A.两个矩形B.两个等腰梯形C.对应边成比例的两个四边形D.有一个内角相等的菱形8.在下列命题中，正确的是()第2页，共11页A.邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B.有一个角是70∘两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.有一个角是60∘的两个菱形一定相似9.用放大镜将图形放大，应该属于()A.平移变换B.相似变换C.对称变换D.旋转变换二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）10.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍.11.如图，△𝐷𝐸𝐹的边长分别为1，√3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，选择格点为顶点画△𝐴𝐵𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹.如果相似比𝐴𝐵𝐷𝐸=𝑘，那么k的值可以是______．12.如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形.请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．13.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是______．14.如图，______与______相似．15.如图，请在方格图中画出一个与△𝐴𝐵𝐶相似且相似比不为1的△𝐷𝐸𝐹(𝐷、E、F必须在方格图的交叉点)．16.已知△𝐴𝐵𝐶在坐标平面内三顶点的坐标分别为𝐴(0,2)、𝐵(3,3)、𝐶(2,1).以B为位似中心，画出与△𝐴𝐵𝐶相似(与图形同向)，且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是______．17.如图中的等腰梯形(𝐴𝐵𝐶𝐷)是公园中儿童游乐场的示意图.为满足市民的需求，计划扩建该游乐场.要求新游乐场以MN为对称轴，且新游乐场与原游乐场相似，相似比为2：1.又新游乐场的一条边在直线BC上，请你在图中画出新游乐场的示意图．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，在坐标系的第一象限建立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别为𝐴(2,4)、𝐵(0,2)、𝐶(4,4)．(1)若△𝐴𝐵𝐶外接圆的圆心为P，则点P的坐标为______．(2)以点D为顶点，在网格中画一个格点△𝐷𝐸𝐹，使△𝐷𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐶，且相似比为1：2.(画出符合要求的一个三角形即可)第4页，共11页19.已知，如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4，D为BC边上一点，𝐵𝐷=1．(1)求证：△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐴；(2)在原图上作𝐷𝐸//𝐴𝐵交AC与点E，请直接写出另一个与△𝐴𝐵𝐷相似的三角形，并求出DE的长．20.如图，已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△𝐴𝐵𝐶分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)21.已知：如图，在菱形ABCD中𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为E，对角线𝐵𝐷=8，tan∠𝐶𝐵𝐷=12，求(1)边AB的长；(2)cos∠𝐵𝐴𝐸的值．22.如图，已知△𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△𝐴𝐵𝐶分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)第6页，共11页答案和解析【答案】1.C2.C3.B4.B5.C6.C7.D8.D9.B10.511.2，2√3，412.解：如图所示：所画正方形即为所求．13.1：414.(1)；(4)15.解：所画图形如下：△𝐷𝐸𝐹就是所求的相似三角形．16.(−6,0)、(3,3)、(0,−3)17.解：如图所示：18.(3,1)19.(1)证明：∵𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=4，𝐵𝐷=1，∴𝐴𝐵𝐵𝐶=24=12，𝐵𝐷𝐴𝐵=12，∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐴𝐵，∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐴，∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐴；(2)解：∵𝐷𝐸//𝐴𝐵，∴△𝐶𝐷𝐸∽△𝐶𝐵𝐴，∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐷𝐸，∴𝐷𝐸=1.5．20.解：如图，AD为所作．21.解：(1)连接AC，AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐵𝑂=12𝐵𝐷=4，∵𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐶中，tan∠𝐶𝐵𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐵=12，∴𝑂𝐶=2，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=√𝐵𝑂2+𝐶𝑂2=√42+22=2√5；(2)∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∴𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶⋅𝐴𝐸=12𝐵𝐷⋅𝐴𝐶，∵𝐴𝐶=2𝑂𝐶=4，∴2√5𝐴𝐸=12×8×4，∴𝐴𝐸=8√55，∴𝐵𝐸=√𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=√(2√5)2−(8√55)2=6√55，∴cos∠𝐴𝐵𝐸=𝐵𝐸𝐴𝐵=6√552√5=35．22.解：如图所示：AD即为所求．【解析】1.解：A、各有一顶角或底角是30∘的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C、各有一个角是120∘的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C．利用相似图形的定义逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了相似图形的知识，能够了解相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大．2.解：𝐴.矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；𝐵.各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；𝐷.各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；第8页，共11页故选：C．根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与角两个方面考虑解答．3.解：①：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项①错误．②：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项②错误．③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项③正确④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似.因为它们的顶角均为110∘，两锐角均为35∘，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定.故：选项④正确．⑤：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项⑤正确故：选B利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法．4.解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．5.解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、∵90∘−40∘=50∘，∴两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．故选C．根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了相似图形的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．6.解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选C．根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．7.解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，故选D．根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．8.解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、有一个角是70∘两个等腰三角形不一定相似，所以B选项错误；C、两个直角三角形不一定相似，所以C选项错误；D、有一个角是60∘的两个菱形一定相似，所以D选项正确．故选：D．根据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A、D进行判断；根据70∘的角可能为顶角，也可能为底角可以对B进行判断；根据三角形判定方法对C进行判断．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9.解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．10.解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5．由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．11.解：∵△𝐷𝐸𝐹的边长分别为1，√3，2∴△𝐷𝐸𝐹为直角三角形，∠𝐹=30∘，∠𝐷=60∘，根据等边三角形的三线合一，可作三边比为1：(√3+√3)：2的三角形，故相似比𝐴𝐵𝐷𝐸=𝑘，k可取2，2√3，4．故答案为：2，2√3，4．根据题意可得：在正六边形网格找与△𝐷𝐸𝐹相似的三角形；即找三边的比值为1：√3：2的直角三角形；分析图形可得：共三种情况得出答案即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合各边长得出符合题意的图形是解题关键．12.直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．13.解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为：1：4．根据等边三角形周长的比是三角形边长