稍复杂绝对值方程

第八讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665xx的解是．(重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】适合81272aa的整数a的值的个数有()．A．5B．4C．3D．2（希望杯邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如dcxbax的绝对值方程可变形为)(dcxbax且0dcx，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413xx；(天津市竞赛题)思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如edcbax的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如dcxbax的方程求解．【例4】解下列方程：(1)113xxx(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451xx．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x的方程axx32，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431xx的整数解有（）．A．2个B．3个C．5个D．无穷多个（希望杯邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)=||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是().A.-2B.0C.23D.不存在6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为().A.不确定B.无数个C.2个D.3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是().A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于().A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21(2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8;(2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3;(4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a0,b0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0x10,则满足条件│x-3│=a的整数a的值共有_____个,它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于().A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是().A.mnkB.nkmC.kmnD.mkn17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有()个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有().A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或02.0或-13.54.-1,a≥0提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x-1、-1≤x12、12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0k2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k2时,原方程有两解:x+3=±2(2+k).11.±512.1-x13.b≤x≤a提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0x3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D提示:m≤016.A17.C提示:-2≤3x≤418.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3a3时,方程有一解;当a=±3时,方程有无穷多个解;当a3或a-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002x的解分别是1x、2x，则21xx=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213xxx的解是______．（希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x、y、z满足0xy，0yz，并且3x，2y，21z，则zyx=______．(北京市迎春杯竞赛题)4．已知13xx，则20092)94864(xx________．（广东省竞赛题）5．方程133xx的解是_________．（山东省竞赛题）6．满足方程123422xx的所有解的和为______．(新加坡竞赛题)7．若关于x的方程ax12有三个整数解，则a的值为（）．A．0B．1C．2D．3（重庆市竞赛题）★8．如果关于x的方程axx11有实根，那么实数a的取值范围是（）．A．0aB．0aC．1aD．2a（CASIO杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a、b0(a，)1a，有a⊕b=aaba220042003，已知2004⊕x=2，求x的值．（北京市迎春杯竞赛题）