3.1第一节导数的概念与运算、导数的几何意义

第三章导数及其应用第一节导数的概念与运算、导数的几何意义1．已知函数f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′(π2)＝()A．－3π2B．－1π2C．－3πD．－1π2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．eC.ln22D．ln23．(2020届四川石室中学高三期中)曲线y＝xsinx在点(π2，π2)处的切线方程为()A．x－y＝0B．x＋y－π＝0C．2x－4y＋π＝0D．2x＋4y－3π＝04．给出下列结论：①若y＝log2x，则y′＝1xln2；②若y＝－1x，则y′＝12xx；③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；④若y＝ax(a0)，则y′＝axlna．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．45．已知函数f(x)＝xex(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝()A.1＋xexB.1－xexC．1＋xD．1－x6．(2020届辽宁高三期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝()A．0B．－4C．－2D．27．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.1eD．－1e8．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________．9．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．10．曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线为y＝2x＋1，则f（x0）－f（x0－2Δx）Δx＝()A．－4B．－2C．4D．211．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[3π4，π)B．[π4，π2)C．(π2，3π4]D．[0，π4)12．(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2C．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnxD．f(x)＝tanx13．函数g(x)＝lnx的图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________．14．若曲线f(x)＝12x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．15．已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示：(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为______________(用“”连接)．16．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．第三章导数及其应用第一节导数的概念与运算、导数的几何意义【基础过关】1．C解析：因为f′(x)＝－1x2cosx＋1x(－sinx)，所以f(π)＋f′π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π.故选C.2．B解析：由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知，lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，即x0＝e.故选B.3．A解析：因为y＝xsinx，所以y′＝sinx＋xcosx，则y′|x＝π2＝1，所以曲线y＝xsinx在点（π2，π2）处的切线的斜率为1，即切线方程为y－π2＝x－π2，所以切线方程为x－y＝0.故选A.4．D解析：根据求导公式可知①正确；若y＝－1x＝－x－12，则y′＝12x－32＝12xx，所以②正确；若f(x)＝1x2，则f′(x)＝－2x－3，所以f′(3)＝－227，所以③正确；若y＝ax(a0)，则y′＝axlna，所以④正确．因此正确的结论个数是4.故选D.5．B解析：f′(x)＝ex－xexe2x＝1－xex.故选B.6．B解析：由f(x)＝x2＋2x·f′(1)，得f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，则f'(x)＝2x－4，f′(0)＝－4.故选B.7．C解析：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x.设切点坐标为(x0，lnx0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)．因为切线过点(0,0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.故选C.8．(－2,9)解析：由题意得f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9)．9．1解析：f(1)＝a，切点为(1，a)．f′(x)＝a－1x，则切线的斜率f′(1)＝a－1，所以切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.【综合进阶】10．C解析：由题意可得f′(x0)＝2，所以limΔx→0fx0－fx0－2ΔxΔx＝2limΔx→0fx0－fx0－2Δx2Δx＝2f′(x0)＝4.故选C.11．A解析：y′＝－4ex＋e－x＋2.∵ex＋e－x＋2≥2ex·e－x＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立，∴y′∈[－1,0)，得tanα∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴3π4≤απ.故α的取值范围为3π4，π.故选A.12．AC解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.13.22解析：设与直线y＝x平行且与曲线g(x)＝lnx相切的直线的切点坐标为(x0，lnx0)．∵g′(x)＝(lnx)′＝1x，则1＝1x0，∴x0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为点(1,0)到直线y＝x的距离，即为|1－0|1＋1＝22.14．[2，＋∞)解析：∵f(x)＝12x2－ax＋lnx，定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵曲线f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．故a的取值范围为[2，＋∞)．15．(1)1(2)h(0)h(1)h(－1)解析：(1)由题图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝x，g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，故a＝12，b＝0，d＝13，e＝m＝0，所以f(x)＝12x2＋c，g(x)＝13x3＋n，由f(1)＝1，得c＝12，则f(x)＝12x2＋12，故f(－1)＝1.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－13x3＋c－n，则有h(－1)＝56＋c－n，h(0)＝c－n，h(1)＝16＋c－n，故h(0)h(1)h(－1)．16．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.