高中数学课件第四章第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例-

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.两个向量的夹角(1)定义和范围(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件[思考探究1]在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角为∠ABC吗？提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.2.平面向量的数量积3.与平面向量的数量积有关的结论已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)[思考探究2]若a∥b，则a与b的数量积有何特点？提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.1.已知a＝(1，－2)，b＝(5,8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝()A.34B.(34，－68)C.－68D.(－34,68)解析：a·(b·c)＝(1，－2)×(5×2＋8×3)＝(34，－68).答案：B2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.B.C.4D.12解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a＋2b|＝.答案：B3.已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角是()A.30°B.45°C.90°D.135°解析：设向量a与b的夹角为θ，由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cosθ＝|a|2，∴cosθ＝∴θ＝45°.答案：B4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的投影为.解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a|cos〈a，b〉＝答案：5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝.解析：∵(a－b)2＝3，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3，∴|a|2＋2－4＝3，∴|a|2＝5，∴|a|＝.答案：1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为，求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)|a＋b|.[思路点拨][课堂笔记](1)a·b＝|a|·|b|·cos＝3×4×(－)＝－6.a2＝32＝9，b2＝16.∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×9－8×(－6)＋64＝91＋48.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝25－12.∴|a＋b|＝若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题.解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)，∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，－14)，a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6).∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6)＝5×(－1)＋(－14)×(－6)＝－5＋84＝79.(2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)，∴|a＋b|＝已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则(1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°；(2)a·b＝0⇔θ＝90°；(3)a·b＜0⇔90°＜θ＜180°.[特别警示]在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线.已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值.[思路点拨][课堂笔记](1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴|a|2－|b|2＝，又∵|a|＝1，∴|b|＝设a与b的夹角为θ，则cosθ∴θ＝45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×∴|a－b|＝.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×∴|a＋b|＝，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且，求实数m，n的值.[思路点拨][课堂笔记]由于C、A、B三点在同一条直线上，则而＝(7，－1－m)，＝(n＋2,1－m)，∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，①又∵∴－2n＋m＝0，②联立①②解得平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向.[考题印证](2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.【解】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝┄┄┄┄(4分)(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝.┄┄┄┄┄┄┄(8分)又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝，或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.┄┄┄(12分)[自主体验]已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积.解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形.(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝·4·sin＝1.(2009·宁夏、海南高考)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()解析：a＝(－3,2)，b＝(－1,0).λa＋b＝(－1－3λ，2λ)，a－2b＝(－1,2).∵λa＋b与a－2b垂直，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0，∴(－1－3λ)(－1)＋2λ·2＝0，解得λ＝－.答案：A2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足则等于()解析：M为BC中点，得又∵P为AM的等分点，答案：A3.已知在△ABC中，若则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：由∴△ABC是直角三角形.答案：C4.已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝.答案：7解析：|5a－b|2＝25|a|2＋|b|2－10a·b＝25＋9－10×1×3×(－)＝49.∴|5a－b|＝7.5.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为.解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)；∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量＝(－8,8)，＝8.答案：86.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2).(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝可得：∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4).(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝∴cosθ＝＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.