多属性决策分析

多属性决策分析•=624212696&uk=51022091•例：某中东国家拟从美国购买一种机型的喷气式战斗机若干架，美五角大楼的官员提供了准予出售的4种机型的有关信息。该中东国家派出专家组对4种飞机进行了详细考察，考察结果见表，问应选购哪一种飞机以使决策的总效用值最大属性机型最大速度/340m.1s巡航半径/1.6Km最大载荷/0.45Kg价格/610S可靠性可维修性12.01500200005.5一般很高22.52700180006.5低一般31.82000210004.5高高42.21800200005.0一般一般权值0.20.10.10.10.20.3•准则是决策事物或现象有效性的某种度量，是事物或现象评价的基础。它在实际问题中有两种基本的表现形式．即属性与目标•属性是伴随着决策事物或现象的某些特点、性质或效能•每一种属性应该能提供某种测量其水平高低的方法•目标是决策者对决策事物或现象的某种追求•一个目标通常表明决策者在未来针对某一事物或现象确定的努力方向。•多准则决策（MultipleCriteriaDecisionMaking．简称MCDM）的研究领域被划分成多属性决策（MultipleAttributeDecisionMaking简称MADM）和多目标决策（MultipleObjectiveDecision简称MODM）两个主要部分。多属性决策与多目标决策•其共性在于：1.两者对事物好坏的判断准则都不是惟一的，且准则与准则之间常常会相互矛盾。2.不同的目标或属性通常有不同的量纲，因而是不可比较的。•差别在于：•多属性的决策空间是离散的；多目标的决策空间是连续的。多属性的选择范围是有限的、已知的；多目标的选样范围是无穷的、未知的。多属性的约束条件隐含于准则之中。不直接起限制作用；多目标的约束条件独立于准则之外，是决策模型中不可缺少的组成部分•简而言之•从本质上来说，多属性是对事物的评价选择问题：多目标决策是对方案的规划设计问题。由多属性决策领域可自然延伸到群决策领域；而从多目标决策空间将会扩展到系统的优化与设计空间。第一节多属性决策的准备工作多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。一、决策矩阵经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。设有n个决策指标fi（1≤j≤n），m个备选方案ai1≤i≤m），m个方案n个指标构成的矩阵X=(xij)m×n称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优；成本型指标（逆向指标），数值越小越优。设有一组可能的方案12.....MAAA，需要考察的属性记为12,....nCCC，各属性的重要程度即权值用12,....n表示，0j，j，且符合归一化条件12....1n。将决策后果即方案的属性值记为,ijx1,2,.....im，1,2,.....jn。旨在找出其中的最优方案，记为maxA。11()c22()c……()nnc111x12x……1nx221x22x……2nx…..…..….….….m1mx2mxmnx属性（方案•在多属性决策问题中，由于属性指标之间的相互矛盾与制衡，因而不存在通常意义下的最优解。取而代之的是有效解（也称非劣解）、满意解、优先解、理想解、负理想解和折衷解，它们被分别定义如下：•有效解（EfficientSolution）：不被任何其它可行解所支配的可行解被称为。这里，所谓支配应理解为在所有属性上得到的结果都不比对方差，而且至少在一个属性上得到的结果比对方好。•满意解（SatisfyingSolution）在所有属性上都能满足决策者要求的可行解披称为满意解。显然，满意解可以不是有效解。•优先解（PreferredSolution）：最能满足决策者指定条件的有效懈被称为优先解•理想解（IdealSolution）：由各属性在现有方案中可能具有的最好结果组合而成的解被称为理想解。•一般来说，理想解是不存在的。否则，理想解必是最优解，决策分析便不复存在。其数学表示式为1(....,....,)JnAcccmax(),1,2.....()   jjijjijiijcUxjnUxx其中，这里的表示第i个方案在第j个属性上基于的效用函数值。理想解的概念在多属性决策的理论和实践中都有着重要的意义，关于多属性决策的折衷模型及算法便是以它为基础建立起来的。•反理想解（Anti-idealSolution）：由各属性在现有方案中可能具有的最坏结果组合而成的解被称为反理想解。一般来说，反理想解也是不存在的。否则，它必可作为劣解而被淘汰。其数学裹示式为1(....,....,)JnAccc  min(),1,2.....?jjijicUxjn式中•折衷解（CompromiseSolution）：距离理想解最近或距离反理想解最远或以某种方式将二者结合在一起的可行解被称为折衷解。属性指标的量化与转换语言类属性指标的量化在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性两种不同的表示形式。为了便于对属性值进行必要的数学处理，普遍采用MacCrimimon提出的双向比例标尺（BipolarScaling）将定性指标转换为定量指标。其标尺形式:0最低1很低3低5平均7高9很高10最高最高0很高1高3平均5低7很低9最低10属性值的规范化处理•所谓属性值的规范化处理就是要消除量纲的影响，并将所有数值的大小全部统一到单位区间内，这样才有比较的基础。•在多属性决策分析中，最常用的数据规范化方法主要有以下两种。•向量法。该方法的数值转换公式为：21ijijmijixrx•比例法。该方法对干不同类型的属性值采用不同的转换方式。对于收益类属性值，其转换公式为maxijijjxrxminmaxminijjijjjxxrxx•而对于成本性属性值，其转换公式为：•其中minjijijxrxmaxmaxminjijijjjxxrxxmax12max,,....jjjmjxxxxmin12min,....,jjjmjxxxx属性权值的比较与分配•在多属性决策问题中，相对于决策者来说，不同属性的重要程度往往是不一样的。因此，在进行多属性决策分析之前，应首先确定每一属性的权值。常用的权值确定方法主要有两类：•第一类是基于决策者自身认识和经验的主观比较法，适用于决策矩阵未知的情况；•第二类是基于属性值特征的客观分析法。适用于决策矩阵已知的情况•这一方法要求决策者将属性两两之间作成对的比较，给出每对同性的权重比，比值的确定方式参•见表ij,1,2,....ijn权重比ij含义1属性i与属性j具有相等的重要程度3属性i比属性j略重要一些5属性i比属性j明显重要7属性i比属性j重要的多9属性i的重要性完全压倒属性j的重要性2，4，6，8介于以上比较之间倒数相反方向的比较值•依据上述比较结果可构造权重比炬阵111121112122221222121212............nnnnmmmnmmmnrrrrrrRrrr显然．在矩阵R中1iir，1ijjirr，0ijr。如果决策者对权重比的估计是一致的，则还应有ijikkjrrr。R被称为判断矩阵，而满足一致性要求的判断矩阵被称为相容矩阵。理论上，相容矩阵的任意一列都可以视为属性的权向量。但实际上，由决策者给出的判断矩阵R很难满足一致性的要求。为此．需采用某种特定方法在R的基础上对权向量进行估汁。常用的估计方法有算术平均法，几何平均法、特征向量法和最小二乘法4种•算术平均法。由于判断矩阵R中的每一列都近似地反映了权值的分配精形，故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。即1111,2,nijinjkjkrinnr•几何平均法：与算术平均法类似，几何平均法是采用判断矩阵R中全部列向量的几何平均值作为权向量的估什。即11111()()nnijjinnnkjkjrr•特征向量法•将权重向量右乘权重矩阵，则有：1111211222221212......nnnnmmmnrwnnw•如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理论可知，n是R的惟一非零的也是最大的特征根，记为，而w是n所对应的特征向量。如果判断矩阵正不完全具有相容性，则上面的等式并不成立．但矩阵R元素的微小变动则意味着根的微小变动．故可先求解R最大特怔根，即求解以下用行列式形式表示的方程组的最大解且；1112121222120nnmmmnrrrrrrrrr将求出的最大特征根带入其次线性方程组max()0RIw12(,,)Tnw从而解出对应的特征向量如果判断矩阵R是相容矩阵，将特征向量作归一化处理后即可作为属性的权向量。•但一般来说，R未必是相容矩阵，为了度量判断矩阵R的相容性，Saaty定义了下面的不相容指标：当时，认为判断矩阵R的相容性良好，可采用特征向量W作为权向量，否则，需要对判断矩阵R重新调整。由于特怔根对应的特怔向量一般不是惟一的，为了确切起见，可采用归一化的特征向量作为权向量。即()0.1CR()1mannCRn12111,,nnnniiiiiiw最小二乘法•由于判断矩阵R的相容性很难保证，故一般情形下。但可以根据最小二乘法原理选择一组权值，使其误差的平方和最小。即iijjr12,,n2111minZ=().101,2,nnijjiijniiirstin例题•已知判断矩阵R为：113123132131R分别用算术平均法，几何平均法，向量法，最小二乘法求其权值采用特征向量法，计算过程如下：首先求得相应矩阵的特征值：1131211312313313021312131E，解得最大特征根为：3.0533.0533()0.02650.131CR相容性好，1232.05361/31/232.05363021/32.0536(0.1570,0.5936,0.2493)T基数型多属性决策方法•这一类方法要求决策者将属性值表示为能反映实际情况的基数形式，通过规范，加权、合成、比较等技木求得决策的最终结果。主要包括极大-极大型、极大-极小型、赫威斯型和简单加权平均型4种基本方法，以及折衷型和ELECTRE等方法极大－极大型（maximax）•该方法只考虑每个方案中最好的属性值，然后选出好中之好者对应的方案作为决策的结果，它反映了某些特定的决策情形，譬如运动员的选拔问题在许多情况下只关注运动员成绩最好的某个单项技能而不在乎运动员在其它项目中的表现和水准。为了体现这一思想，乐观型决策的优先解由以下公式确定：*(1,2,),maxmaxkkijijAAkmxx•极大－极小型决策方法体现了“坏中求好”的保守原则，它先选出每个方案中最差的属性值．令其中最好属性值所对应的方案作为决策的结果。譬如人的寿命取决于人体中受害最重、影响最大的某个器官；链条的强度取决于其中最薄弱的一个环节。这些都反映出了该决策方法合理性的一面。下式将给出决策的优先解。*(1,2,),maxminkkijjiAAkmxx赫威斯型《Hurwicz）•为了克服极大－极大型决策和极大－极小型决策的极端片面性，赫威斯型决策采用线性组合的