4.2相交线和平行线 典型例题及强化训练

4.2相交线和平行线典型例题及强化训练课标要求①了解对顶角，知道对项角相等。②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。典型例题1.判定与性质例1判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。()2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。()3)两直线平行，同旁内角相等。()4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。()答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。例2已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。ABEDCF分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。∵∠BED=∠FED-∠FEB，∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∴∠1+∠2+∠D=180°。∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。即∠BED=∠B-∠D。例3已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。证法一：过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。又∵EH∥CD（已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠BFE=∠FEC。证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代换）。∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。证法三：（如图12）连结BC。∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE（等式的性质）。即∠FBC=∠BCE。∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。强化训练一.填空1.完成下列推理过程①∵∠3=∠4（已知），__∥___（）②∵∠5=∠DAB（已知），∴____∥______（）③∵∠CDA+=180°（已知），∴AD∥BC（）2.如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°，∠ABC＝50°则∠A度，∠BDC＝度。3.如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD,则∠AEB＋∠CED=。4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________。5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC，且∠AOC=68°，则∠BOE=二.选择题1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）A南偏西50度方向；B南偏西40度方向；C北偏东50度方向；D北偏东40度方向2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD,则图中与∠1相等的角共有()个A6个B.5个C.4个D.2个3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（）A、a∥dB、b⊥dC、a⊥dD、b∥c4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°5.已知：AB∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°,则∠BCF的度数是()A.160°B.150°C.70°D.50°6（2003南通市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（）（A）∠1＝∠3（B）∠2＝∠3（C）∠4＝∠5（D）∠2＋∠4＝180°7.（北京市海淀区2003年）.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)21；(2)31；(3)23中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.38.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（）A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角ABCDEFGH1ABEDC543CDABCABED相等；C、两直线平行，内错角相等；D、两直线平行，同旁内角相等。9.（2003年安徽省）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有……（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.(日照市2004年)如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（）A∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;B∠BED＝∠ABE－∠CDEC∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE;D∠BED＝∠CDE－∠ABE三.解下列各题：1.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。2、已知AD∥BC，∠A=∠C，求证：AB∥CD。3.如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.4.已知,如图AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB,∠EDC与∠CHF互补,求证：DE⊥AC.5.如图，已知AB∥ED，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE的度数。6.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AE=AF.求证：AD平分∠BAC。四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。ABCEFD第3题DCAB321DBCOA第1题第2题321FDEABCGEFDBCAHABCDE第4题第5题第6题相交线与平行线2.1略；121°，84°；3.90°；4.-10；5。56°二.题号12345678910答案BBAADBDCBC三.1.解：∵OA⊥OC，OB⊥OD∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴∠1=∠3=26°∴∠2=64°2证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°∴AB∥CD.2.解：连结AC.∵AB∥DC∴∠CAB+∠ACD=180°∵∠CAE+∠ACF+∠E+∠F=360°∴∠CAB+∠ACD=180°∴∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD=540°4.证明：∵HF⊥AB，AB⊥CD∴CD∥HF，∴∠CHF+∠HCD=180°∵∠EDC与∠CHF互补,∴∠EDC=∠HCD，∴ED∥CB∴∠AED=∠ACB∵∠ACB=90°∴∠AED=90°∴DE⊥AC.5.解：延长BC交DE于F.由∠ABC=135°易得∠BFD=45°,又∠BCD=80°，得∠CDE=35°6.证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G∴AD∥EG，∴∠2=∠3,∠1=∠E,∵AE=AF∴∠E=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC。四.略ABCEFDEFDBCAHFDCABE321FDEABCG