第3章-计算机控制系统分析

第3章计算机控制系统分析第3章计算机控制系统分析第3章计算机控制系统分析3.1离散系统的稳定性分析一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。连续系统的稳定性分析是在S平面进行的，离散系统的稳定性分析是在Z平面进行的。3.1.1S平面与Z平面的关系S平面与Z平面的映射关系，可由来确定。设则有TsezjsTzezeezTTjT||第3章计算机控制系统分析在Z平面上，当δ为某个定值时z=eTs随ω由-∞变到∞的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为z=eTs，而圆心角是随线性增大的。当δ=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平面上的是以原点为圆心的单位圆。当δ0时，|z|1，即S平面的左半面映射到Z平面上的是以原点为圆心单位圆的内部。当δ0时，|z|1，即S平面的右半面映射到Z平面上的是以原点为圆心单位圆的外部。S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示。第3章计算机控制系统分析[S]-11-jj[Z]jωδjImRe00图3.1S平面与Z平面的映射关系第3章计算机控制系统分析于是得到下面结论：1．S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。在S平面上，ω每变化一个ωs时，则对应在Z平面上重复画出一个单位圆，在S平面中-ωs/2～ωs/2的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称为频率混迭现象，由于实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工作频率都在主频区内。第3章计算机控制系统分析2．S平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。3．S平面的负实轴对应于Z平面的单位圆内正实轴。4．S平面左半面负实轴的无穷远处对应于Z平面单位圆的圆心。5．S平面的右半面对应于Z平面单位圆的外部。6．S平面的原点对应于Z平面正实轴上z=1的点。在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在S平面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平面中的单位圆内时，系统是稳定的。第3章计算机控制系统分析3.1.2离散系统输出响应的一般关系式设离散系统的闭环Z传递函数为：设有n个闭环极点zi互异，m＜n，输入为单位阶跃函数，则其中01()1niiiCCYzzzzznizAzzBCwABCiiii3,2,1)()1()(,)1()1()1(0)(izz)()()()(11110zAzBazazbzbzbzRzYzwnnnmmm第3章计算机控制系统分析取Z反变换得：上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。若离散系统稳定，则当时间k→∞时，输出响应的暂态分量应趋于0，即：这就要求zi＜1因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：闭环Z传递函数的全部极点应位于Z平面的单位圆内。,3,2,1)(1)1()(1kzCkwkynikii1lim0nkiikiCz第3章计算机控制系统分析例3.1某离散系统的闭环Z传递函数为则w(z)的极点为：z1=-0.237，z2=-1.556由于|z2|=1.556＞1，故该系统是不稳定的。211368.0792.1116.3)(zzzzw第3章计算机控制系统分析3.1.3Routh稳定性准则在离散系统的应用连续系统的Routh稳定性准则不能直接应用到离散系统中，这是因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代数方程的根是否位于S平面的左半面。如果把Z平面再映射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方程。因此，使用双线性变换，将Z平面变换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半面。设（或）则（或）其中z，w均为复变量，即构成W变换，如图3.2所示。11wwzwwz1111zzw11zzw第3章计算机控制系统分析-11-jj[Z]jImRe0[W]jωδ0图3.2Z平面与W平面的映射关系这种变换称为W变换，它将Z特征方程变成W特征方程，这样就可以用Routh准则来判断W特征方程的根是否在W平面的左半面，即系统是否稳定。第3章计算机控制系统分析例3.2某离散系统如图3.3所示，试用Routh准则确定使该系统稳定k值范围，设T=0.25s。解：该系统的开环Z传递函数为：r(t)y(t)T图3.3例3.2离散系统)4(ssk)368.0)(1(158.0)4()(zzkzsskzG第3章计算机控制系统分析该系统的闭环Z传递函数为：求得该系统的闭环Z特征方程为：对应的W特征方程为：Routh表为w20.158k(2.736-0.158k)w11.2640w0(2.736-0.158k)0解得使系统稳定的k值范围为0＜k＜17.3kzzzkzzGzGzW158.0)368.0)(1(158.0)(1)()(0158.0)368.0)(1(kzzz0)158.0736.2(264.1158.02kwkw第3章计算机控制系统分析显然，当k≥17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，可以得到k值的范围为0＜k＜40.5。但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。第3章计算机控制系统分析3.2离散系统的过渡响应分析一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。一般认为被控变量进入新稳态值附近±5%或±3%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性)。如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行Z反变换，就可获得动态响应y*(t)。将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量σ%与过渡过程时间ts），如图3.4所示。第3章计算机控制系统分析0T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T13T1.61.41.210.80.60.40.2y(t)tts图3.4线性离散系统的单位阶跃响应%%5第3章计算机控制系统分析首先研究离散系统在单位脉冲信号作用下的瞬态响应，以了解离散系统的动态性能。式中zi与zj分别表示闭环零点和极点。利用部分分式法，可将W(z)展开成由此可见，离散系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加。)()()()()()(11mnzzzzKzRzYzWnjjmiinnzzzAzzzAzzzAzW2211)(第3章计算机控制系统分析设系统有一个位于zi的单极点，则在单位脉冲作用下，当zi位于Z平面不同位置时，它所对应的脉冲响应序列如图3.5所示。-11-jjjImRe0图3.5不同位置的实极点与脉冲响应的关系第3章计算机控制系统分析(1)极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量y(kT)单调发散。(2)极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是等幅的。(3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应y(kT)单调衰减。(4)极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的衰减振荡。(5)极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的等幅振荡。(6)极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的发散振荡。第3章计算机控制系统分析例3.3某离散系统如图3.6所示，分析该系统的过渡过程。设系统输入是单位阶跃函数解：(1)设K=1，T=τ=1；则r(t)e(t)e*(t)y(t)T图3.6例3.3离散系统seTs1)1(ssK)368.01)(1()717.01(368.0)(1111zzzzzG2121632.01264.0368.0)(1)()(zzzzzGzGzW第3章计算机控制系统分析从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调量约为40%，且峰值出现在第3、4拍之间，约经12个采样周期过渡过程结束，如图3.7曲线a所示。)()()(zRzWzY12123123456789101112131415160.3680.264121.6320.6320.3681.41.41.1470.8950.8020.8680.9931.0771.0811.0320.9810.9610.9730.997zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz第3章计算机控制系统分析(2)现将图中的保持器去掉，k=1，T=τ=1；则由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为21%，峰值产生在第3拍，调整时间为5拍，如图3.7曲线b所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能好。这是因为保持器有滞后作用所致。)368.01)(1(632.0)(111zzzzG211368.0736.01632.0)(1)()(zzzzGzGzW3211368.0104.1736.11632.0)()()(zzzzzRzWzY765432198.097.002.112.121.11.1632.0zzzzzzz第3章计算机控制系统分析01234567891011121314151.61.41.210.80.60.40.2y(t)tab图3.7离散系统的响应曲线第3章计算机控制系统分析劳动创造了人类历史，同时推动人类历史不断向文明开化前进。在几百万年的人类历史中，由于分工不同，劳动形式不同，劳动职业也变得丰富多样。在加快推进全面小康，建成富强民主文明和谐的社会主义现代化国家的历史进程中，13亿中国人通过不同形式的劳动，在自己的本职岗位上奉献着绵薄之力。这里面有微不足道的小商小贩，默默耕耘的农民伯伯，生产一线的普通工人，有处于行业顶端的地产大亨，大集团CEO，政界精英等等。社会是一台机器，组成这台机器需要超强的发动机，同时也需要连接机器的细小零部件，只有所有组成要件互相配合，共同发力，才能让这台机器时刻保持高速运转。习近平说“在我们社会主义国家，一切劳动，无论是体力劳动还是脑力劳动，都值得尊重和鼓励；一切创造，无论是个人创造还是集体创造，也值得尊重和鼓励。”从大家的固有观念来看，职业应该分为三六九等，脑力劳动者理应比体力劳动者更体面、光鲜，受人尊重。在沿海大城市，我们会发现这样一个现象，每当过年，城市几乎成了“空城”，因为有数以千万计的农民工回家过年，这个时候城里的人才会由衷的感叹，生活多么不便，家里的家务活没有人做了，去吃饭饭馆速度变慢了，早饭0246810121416182000.511.5第3章计算机控制系统分析0246810121416182000.511.5StepResponseTime(sec)Amplitude第3章计算机控制系统分析clear%数值方法r=1;k=1;tao=1;T=1;h=T/10;num=k;den=[tao10];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);y0=0;x=[0;0];fori=1:20e(i)=r-y0(i);forj=1:10k1=a*x+b*e(i);k2=a*(x+h*k1/2)+b*e(i);k3=a*(x+h*k2/2)+b*e(i);k4=a*(x+h*k3)+b*e(i);x=x+(k1+2*k2+2*k3+k