成都中考28题题型结构分析

1成都中考28题题型结构分析一、第（1）问，求二次函数解析式（一）点坐标法例1、（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数54yxm(m为常数)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线2yaxbxc(abc，，为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；分析：（1）利用一次函数54yxm经过点（﹣3，0），求出m的值和C点的坐标。（2）利用抛物线的对称性求出B点的坐标。（3）知道A、B、C三点的坐标后，本题可采用三点式，两根式，顶点式三种方法求二次函数解析式。（建议采用两根式求解）例2、（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线212yxbxc（,bc为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定点A的坐标为(0,1)，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；2解题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质确定B点的坐标。（2）将A点和B点的坐标代入抛物线212yxbxc（二）利用线段的比值，线段的长，三角函数，三角形面积，平移、旋转、翻折图形变换等转化为点坐标法。1、利用线段的比值，线段的长，三角形面积例1、（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知:1:5OAOB，OBOC，△ABC的面积15ABCS，抛物线2(0)yaxbxca经过A、B、C三点。(1)求此抛物线的函数表达式；解题分析：本题主要利用:1:5OAOB，OBOC，15ABCS，求出A、B、C三点的坐标，从而将问题转化为点坐标法例2、（2012辽宁沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=2x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1）求此抛物线的函数表达式；3解题分析：应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。2、利用三角函数转化为点坐标法。例：（2009成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=2(1)(0)axca与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为3ykx,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝31010。（1）求此抛物线的函数表达式；解题分析：(1)通过点C（横坐标为0）在直线MC：3ykx和抛物线y=2(1)(0)axca上，确定C（0，-3）.(2)在RT△OBC中，利用COS∠BCO＝31010求出点B（1，0），从而求出抛物线的表达式。3、利用平移、旋转、翻折图形变换等转化为点坐标法。例1、（2012湖南怀化）]如图，抛物线m：21y(xh)k4与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为(3,)M254,将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n,它的顶点为D.（1）求抛物线n的解析式；解题分析：（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标。（2）要求抛物线n的解析重点是求出顶点D的坐标。根据旋转的性质，D、M关于点B中心对称，利用中点公式B(2,2DMDMyyxx),求出点B坐标；根据抛物线的轴对称性，也可利用几何特性|||MDyy,BDxx≡BG，直接得到点B坐标。求出抛物线的表达式4yxAOBPN图2C1C4QEFyxAOBPM图1C1C2C32（1）例2、（福建宁德市2009）如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）5二、抛物线与几何图形的综合------第（2）（3）研究（一）构成特殊的三角形、四边形1、平行四边形例1、（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数54yxm(m为常数)的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线2yaxbxc(abc，，为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；解题分析：利用平行线的性质解决62、等腰梯形例、（2012湖北孝感12分）)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．73、直角三角形例1、（2009成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=2(1)(0)axca与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为3ykx,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝31010。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?解题分析：本题涉及到两直线垂直的性质1PCNCKk,还要注意到分情况讨论，做到不重不漏例2、（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线212yxbxc（,bc为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定点A的坐标为(0,1)，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限.（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；8（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以MPQ、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；ii）取BC的中点N，连接,NPBQ.试探究PQNPBQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.4、三角形相似例1、（2013•绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；9（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。例2、（2013•包头）已知抛物线y=x2﹣3x﹣的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A、B、C、D的坐标；ABCDOxyl10（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；5、面积及面积求最值例1、（2010成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yaxbxc与x轴交于AB、两点（点A在点B11的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(30)，，若将经过AC、两点的直线1ykxb沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x．（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为ABPS、BPCS，且:2:3ABPBPCSS，求点P的坐标；例2、（2012辽宁朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；8642246105510y=X+3gx()=x2+4∙x+3CBAP12（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（二）线段求最值例、（2012青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，O在x轴的正半轴上，已知A(0，4)、C(5，0)．作13∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．(1)求点D的坐标；(2)求证：△ADE≌△BCD；(3)抛物线y＝45x2－245x＋4经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】设P点坐标为（t，45t2－245t＋4），设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，根据A（0，4）、C（5，0），求出AC的解析式，进而用t表示出PM的长，利用二次函数的性质求出PM的最值，点P的坐标也可以求出。（三）与圆有关的题目例1、（2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m：21y(xh)k4与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为(3,)M254,将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n,它的顶点为D.14（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为(x,y)，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。【分析】要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。求出CG，知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出2GM22CGCM。从而得出CGCM，得出直线CM与⊙G