第2课时　角的平分线的判定

第2课时角的平分线的判定01基础题知识点1角的平分线的判定1．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝35°．3．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中，BE＝CF，DB＝DC，∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴DE＝DF.∴AD是∠BAC的平分线．4．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，∠BOD＝∠COE，OD＝OE，∠ODB＝∠OEC，∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.(2)在△BOD和△COE中，∠ODB＝∠OEC，∠BOD＝∠COE，OB＝OC，∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.知识点2三角形的角平分线5．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(B)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵∠B＝∠C，∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.03综合题13．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°.∴CO平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，AO＝AO，OB＝OE，∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE.同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE.∵∠AOC＝∠AOE＋∠COE，∴∠AOC＝12∠BOE＋12∠DOE＝12×180°＝90°.∴OA⊥OC.(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.