专训2 因式分解的七种常见应用

专训2因式分解的七种常见应用名师点金：因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.2．计算：20162－4034×2016＋20172.用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？21cnjy.com用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．21·cn·jy·com用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，指出A与B哪个大，并说明理由．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96cm，大正方形的面积比小正方形的面积多960cm2.请你求这两个正方形的边长．．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．答案1．解：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．解：20162－4034×2016＋20172＝20162－2×2016×2017＋20172＝(2016－2017)2＝1.3．解：(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.4．解：设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a≠b，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a＋b－(10b＋a)|＝9|a－b|，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．6．解：B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为xcm，ycm，根据题意，得4x－4y＝96，①x2－y2＝960，②由①得x－y＝24，③由②得(x＋y)(x－y)＝960，④把③代入④得x＋y＝40，⑤由③⑤得方程组x－y＝24，x＋y＝40，解得x＝32，y＝8.所以大正方形的边长为32cm，小正方形的边长为8cm.点拨：根据目前我们所学的知识，可以利用因式分解，把所列方程组转化为解关于x，y的二元一次方程组，从而得解．8．解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝(n2＋n＋1)2.理由如下：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝[n(n＋1)＋1]2＝(n2＋n＋1)2.