专训2 线段垂直平分线的四种应用

专训2线段垂直平分线的四种应用名师点金：线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生活中的选址等问题．【线段垂直平分线的性质在求线段中的应用1．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，BC＝18cm，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，连接AE，AF.求：21·世纪*教育网(1)∠EAF的度数；(2)△AEF的周长．(第1题)线段垂直平分线的性质在求角中的应用2．【2015·乐山)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.21cnjy.com(第2题)3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．(第3题)线段垂直平分线的性质在实际中的应用4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？(第4题)线段垂直平分线的性质在判定两线位置关系中的应用5．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线(即垂直平分线)，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．(第5题)答案1．解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴EB＝EA，FA＝FC，∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C.∵在△ABC中，∠BAC＝130°，∴∠B＋∠C＝50°，∴∠BAE＋∠FAC＝50°，∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAE＋∠FAC)＝80°.21世纪教育网版权所有(2)∵BC＝18cm，∴△AEF的周长为AE＋AF＋EF＝BE＋CF＋EF＝BC＝18cm.2．15点拨：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝180°－50°2＝65°.因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以∠DBE＝∠A＝50°.所以∠DBC＝∠ABC－∠DBE＝65°－50°＝15°.3．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.∵在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝7.5°，∴∠ADC＝10x＝75°.4．解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．如图．21教育网(第4题)点拨：解决作图选点性问题，若要找与某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找．21·cn·jy·com5．解：OI⊥BC.证明：连接AO，延长OI交BC于点M.∵OE，OF分别为AB，AC的中垂线，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC.又∵BI，CI分别为∠OBC，∠OCB的平分线，∴点I必在∠BOC的平分线上，∴∠BOI＝∠COI.在△BOM和△COM中，2·1·c·n·j·yOB＝OC，∠BOM＝∠COM，OM＝OM，∴△BOM≌△COM(SAS)．∴∠BMO＝∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO＝180°，∴∠BMO＝∠CMO＝90°，∴OI⊥BC.