专训2 活用多边形的内角和与外角和的五种方法

专训2活用多边形的内角和与外角和的五种方法名师点金：多边形的内角和、外角和属于多边形中的基础知识，它常与方程、不等式综合运用来求某些角的度数或多边形的边数．利用多边形的内角和或外角和求边数1．【2015·孝感】已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是()A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形2．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为________．3．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．利用多边形的内角和或外角和求角的度数4．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2∶3∶4∶3，则∠D等于()A．60°B．75°C．90°D．120°5．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是()(第5题)A．110°B．108°C．105°D．100°6．如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．(第6题)用不等式思想解有关多边形边数及角的问题7．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求：(1)这个多边形的边数；(2)除去的那个内角的度数．求不规则图形的内角和8．如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．(第8题)多边形中的截角问题9．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2700°，那么原多边形的边数是多少？答案1．B2．8点拨：设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.3．解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.则(n－2)×180°＋(2n－2)×180°＝900°，解得n＝3，所以2n＝6.21教育网所以这两个多边形的边数分别是3，6.4．C5.D6．解：如图，连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.因为AB⊥BC，所以∠B＝90°.又因为∠C＝120°，所以∠BAD＋∠ADC＝150°.因为CD∥AF，所以∠CDA＝∠DAF，所以∠BAF＝150°.又因为∠CDE＝∠BAF，所以∠CDE＝150°.所以在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.21世纪教育网版权所有(第6题)7．解：(1)设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得2570°＜(n－2)·180°＜2570°＋180°，解这个不等式组，得16518＜n＜17518.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.21cnjy.com(2)除去的那个内角的度数为(17－2)·180°－2570°＝130°.点拨：由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大，比2570°＋180°小．可列出关于边数的不等式组，先确定边数的取值范围，再求边数．8．解：如图，连接GF.因为∠A＋∠B＋∠AHB＝180°，∠HFG＋∠HGF＋∠GHF＝180°，∠AHB＝∠GHF，2·1·c·n·j·y所以∠A＋∠B＝∠HFG＋∠HGF.(第8题)因为∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠FGC＝540°，∠EFG＝∠EFH＋∠HFG，∠FGC＝∠HGC＋∠HGF，21·世纪*教育网所以∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HFG＋∠HGC＋∠HGF＝540°.所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠HGC＝540°.9．分析：设截成的多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得关于n的方程，从而求得n的值．一个多边形截去一个角后，会出现三种情况，以四边形为例：(1)边数减少1，如图①；(2)边数不变，如图②；(3)边数增加1，如图③.【来源：21·世纪·教育·网】(第9题)解：设新截成的多边形的边数是n，根据多边形的内角和公式，得(n－2)·180°＝2700°，解得n＝17.把一个多边形的一个角截去后，所得新多边形边数可能不变，可能减少1，也可能增加1.2所以原多边形的边数为16或17或18.