28.2_解直角三角形_达标训练(含答案)

28.2解直角三角形达标训练一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为()A.aB.2aC.a23D.a25图28.2－21图28.2－22(第3题)2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是()A.52米B.102米C.54米D.6米3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23图28.2－245.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－268.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长.(结果精确到0.01米)图28.2－279.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()A.1200米B.2400米C.3400米D.31200米图28.2－29图28.2－30图28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为()A.72mB.36mC.36mD.318m12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米13.某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3m，高度(如BE)均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2－3214.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2－3315.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2－3416.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=34千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图28.2－3517.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?图28.2－36参考答案一、基础·巩固达标1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为()图28.2－21A.aB.2aC.a23D.a25思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是()图28.2－22A.52米B.102米C.54米D.6米思路解析：坡度的定义ACBCi，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶10.答案：B3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt△AFC中，sinA=ACCF；在Rt△AEC中，sinC=ACAE.所以sinA∶sinC=ACAEACCF:=CF∶AE=2∶3.答案：B4.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2－23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°.答案：55.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2－24思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.答案：90°6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)图28.2－25思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长.解：如图，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=ACAB，所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×3≈5.2(米).答：树的高度AB约为5.2米.二、综合•应用达标7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2－26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=BDCD，BD=x33.因为AB=AD－BD，所以20=x－x33.解得x≈47.3(米).答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长.(结果精确到0.01米)图28.2－27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.由题意，知AD⊥CD.因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED.在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×21+40×22=10+220，即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2－28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB＞BE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH⊥AB，垂足为H.在Rt△CDF中，I=1:2DFCF，所以DF=21CF=21×2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在Rt△AHC中，tan∠ACH=ACAH，所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×33≈8.7(米).因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD－DE=14－2=12(米)，10.712,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.三、回顾•展望达标10.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()图28.2－29A.1200米B.2400米C.3400米D.31200米思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为()图28.2－30A.72mB.36mC.36mD.318m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()图28.2－31A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度