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第1章电路及其分析方法【内容提要】本章首先讨论电路的基本概念和基本定律,如电路模型和电路基本元件,电流、电压的参考方向,电源的工作状态,基尔霍夫定律以及电路中电位的概念及计算等。这些都是分析与计算电路的基础。其次扼要地讨论了几种常用电路分析方法,如支路电流法、电路的等效变换、叠加定理、戴维南定理等。最后介绍一阶电路的过渡过程1.1电路的基本概念1.1.1电路的作用与组成电路就是电流流过的闭合路径。它是由许多电器元件或电器设备为实现能量的传输和转换,或为了实现信息的传递和处理而连接成的整体。实际电路都是由一些昀基本的部件组成的。昀常见的手电筒电路就是一个昀简单的电路,如图1-1a所示。它的组成,体现了所有电路的共性。组成电路的昀基本部件是:电源、负载和中间环节。提供电能或发出电信号的设备称为电源,它是把其他形式的能量转换成电能的设备。用电的设备称为负载,它将电能转换成机械能、热能或光能等其他形式的能量。中间环节是连接电源和负载的桥梁,起传输和分配电能或者传递和处理信号的作用。1.1.2电路模型为了便于对实际电路进行分析和数学描述,将实际元件看作理想电路元件。由一些反映实际电路部件的主要电磁性质的理想电路元件所组成的电路就是实际电路的电路模型。例如:常用的手电筒实际电路有电池、灯泡、开关和筒体,其电路模型如图1.1.1b所示。灯泡是电阻元件,参数为电阻R;电池为电源,其参数是电动势E和内电阻(简称内阻)R0;筒体是连接电池与灯泡的中间环节(包括开关),认为是无电阻的理想导体。图1-1实际电路与电路模型今后所分析的都是由规定的图形符号表示理想电路元件所组成的电路模型,简称电路。1.1.3电压和电流参考方向电路中的主要物理量有电压、电流、电荷、磁链、能量、电功率等。在电路分析中人们主要关心的物理量是电流、电压和功率。电路分析就是根据电路模型与参数,通过列写方程求取电流、电压。只有保证列写方程所用到的任何符号与电路图的符号相对应一致才电工与电子技术2可能正确列写方程,这些符号包含表示电路特征的结点或回路的符号、表示电路元件的文字符号或元件参数值、表示不同的电压或电流的符号。其中表示不同的电压或电流的符号具有文字符号和方向两方面特征,这就是电压或电流参考方向问题。1.电流的参考方向带电粒子有规则的定向运动形成电流,在单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流强度,简称电流。若电荷量用q表示,时间用t表示,电流用i表示,则有:i=dq/dt用文字符号i表示随时间变化的电流,用文字符号I表示不随时间变化的电流(比如直流电流)。电流常用单位安(A)、毫安(mA),二者关系1mA=10-3A。电流的实际方向规定为正电荷运动的方向。但在分析一些较复杂的电路时,难以确定电流实际方向。为此,在电路分析时常任意假定一个正电荷运动的方向作为电流的流向。这个假定的方向称为电流的参考方向。在电路中所标出的电流方向都是参考方向。电流的参考方向可能与实际方向不一致。当电流的实际方向与参考方向一致时,其值为正;当实际方向与参考方向相反时,其值为负。如图1-2所示,图中用虚线箭标表示实际电流方向。只有在参考方向选定以后,电流才有正负之分。电流参考方向采用文字符号和实线箭标,二者必须在图中同时表示出来;也可以采用带双下标的文字符号表示,其中两个下标符号在图中必须表示出来。例如图1-2中有a、b符号,我们用Iab代替图中的文字符号I和实线箭标所表示的电流参考方向。2.电压的参考方向在电路中选定电位参考点后,我们把单位正电荷从电路中某点移至参考点时电场力做功的大小称为电路中该点的电位,电位的常用单位伏(V)。假设A是电路中一个点,则A点的电位就可以表示为vA(或uA)。电路中两点的电压是单位正电荷从一点移至另一点时电场力做功。若功用w表示,电荷用q表示,电压用u表示,则有:u=dw/dq用uAB(或vAB)表示电路中A,B两点的电压。它与选定电位参考点后A、B两点的电位的关系是uAB=vA-vB。用文字符号v或u表示随时间变化的电压,用文字符号V或U表示不随时间变化的电压(比如直流电压)。电压常用单位伏(V)。电压的实际方向规定为电位真正降低的方向。即从实际高电位(+)指向实际低电位(-)。但是,在列方程进行电路分析时,电压的方向采用的是参考方向。即电压的两端中分别标+、-符号和电压符号,标有符号+的端点是假定高电位端,标有符号-的端点是假定高电位端,这个参考方向可能与电压的实际方向不一致,当电压的实际方向与参考方向一致时,其值为正;当电压的实际方向与参考方向相反时,其值为负。如图1-3所示。图1-2电流参考方向与实际方向的关系图1-3电压参考方向电压实际方向的关系电压的参考方向可以用三种方法来表示:用“+”、“-”符号分别表示电压参考方向的假定高电位端和假定低电位端;用箭头的指向来表示,它由电压参考方向的假定高电位端指向假定低电位端;用双下标字母来表示,如用Uab表示电压的参考方向,则第一个第1章电路及其分析方法3字母表示假定高电位端,第二个字母表示假定低电位端。参考方向是从a指向b。1.1.4电功率1.电功率电功率是指单位时间内电场力所做的功,若功用w表示,时间用t表示,电功率用p表示,则有:p=dw/dt。电功率的单位是瓦(W)。功或能量的单位:焦耳(J)由于u=dw/dq,i=dq/dt,因此有p=ui。2.电路元件吸收或发出功率的判断(1)u,i取参考方向一致如图1-4所示。u,i取参考方向一致,则p=ui表示元件吸收的代数功率:1)p>0W吸收正功率(实际吸收,电路元件起负载作用)2)p<0W吸收负功率(实际发出,电路元件起电源作用)(2)u,i取参考方向相反如图1-5所示。u,i取参考方向相反,则p=ui表示元件发出的代数功率:1)p>0W,发出正功率(实际发出,电路元件起电源作用)2)p<0W,发出负功率(实际吸收,电路元件起负载作用)图1-4u,i参考方向一致图1-5u,i参考方向相反1.1.5基本的理想电路元件基本的理想电路元件有五种:电阻元件、电感元件、电容元件、理想电压源和理想电流源。理想电压源的电压和理想电流源的电流是电路的激励,他们在电路中产生电压、电流是电路的响应。1.电阻元件对电流呈现阻力的元件定义为电阻元件。任何时刻端电压与电流成正比的电阻元件称为线性电阻元件。线性电阻元件的伏安特性曲线是通过坐标原点的直线,如图1-6。u与i成正比,满足欧姆定律。除另有说明外,一般讲的电阻都是指线性电阻,符号如图1-7所示。(1)欧姆定律如图1-7a所示,当U,I参考方向一致时,U、I满足的欧姆定律关系如式(1-1)RIU=(1-1)显然,如图1-7b所示,当U,I参考方向不一致时,U、I满足的欧姆定律关系为U=-IR。图1-6线性电阻元件的伏安特性图1-7电阻元件的欧姆定律式中R是电阻元件的电阻值,称为电阻,它是表示电阻元件特性的参数值。习惯上,称电阻元件为电阻,所以“电阻”既表示电阻元件,又表示电阻元件的参数。电阻的单位常用有Ω,kΩ。欧姆定律常用V、A、Ω与V、mA、kΩ两套量纲,量纲之间的关系是1V=1A×1Ω与1V=1mA×1kΩ。电工与电子技术4例1.1.1应用欧姆定律对图1-8所示的电路列出式子求U或I或R图1-8例1.1.1的电路解:(a)∵-20V=-2A×R∴R=10Ω(b)∵-20V=-I×20kΩ∴I=1mA(c)U=-2A×20Ω=-40V(d)U=-(-2A)×20Ω=40V(2)电阻的功率和吸收的能量1)功率图1-9a所示u,i参考方向一致,p=ui表示电阻元件吸收的代数功率。p=ui=i2R=u2/R>0W吸收正功率(实际吸收,电路元件起负载作用)。图1-9b所示u,i参考方向相反,p=ui表示电阻元件发出负功率。p=ui=(–Ri)i=–i2R=-u2/R<0W,发出负功率(实际吸收,电路元件起负载作用)。结论:电阻元件在任何时刻总是消耗功率的。图1-9电阻元件的功率2)能量对于直流电路,若用P表示电功率,在时间t内电阻消耗的能量用WR=表示,则有:WR=Pt。电功率P的单位是瓦(W)。时间t的单位是秒(s),的单位:焦耳(J)电能量的单位还有千瓦小时(kW·h),显然有:1kW·h=3.6×106J。2.电感元件电感元件被定义为储存磁场能量的两端元件。任何时刻磁链ψ与电流成正比的电感元件称为线性电感元件。线性电感元件的韦安特性曲线是通过坐标原点的直线,如图1-10。ψ与i成正比,满足ψ=Li,比例系数L称为线性电感元件的电感或自感,它是电感元件的参数。电感的单位是亨(H)或毫亨mH,1mH=10-3H。磁链ψ的单位是韦(Wb)。除另有说明外,一般讲的电感都是指线性电感,符号如图1-11所示。(1)电感的电压、电流关系u、i取参考方向一致,如图1-11所示。根据电磁感应定律与楞次定律,有dtdiLu=(1-2)图1-10线性电感元件的韦安特性图1-11电感电路公式(1-2)表明:电感电压u的大小取决于i的变化率,与i的大小无关,电感是动态元件;当i为常数(直流)时,u=0,电感相当于短路;实际电路中电感的电压u为有限值,则电感电流i不能跃变,必定是时间的连续函数。显然,当电感的u,i参考方向相反时,上述微分表达式前要冠以负号。(2)电感的功率和储能1)功率第1章电路及其分析方法5u、i取参考方向一致,p=ui表示电感元件吸收的代数功率,itiLuip⋅==dd当p>0W时,电感实际吸收功率;当p<0W时,电感实际发出功率。因此,电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来,在另一段时间内又把能量释放回电路,因此电感元件是储能元件,它本身不消耗能量。2)电感的储能)(21)(21)(21)ξ(21ddd2222tLiLitLiLiξξiLiWttL=−∞−===∞−∞−∫(1-3)从t0到t电感储能的变化量)(21)(21022tLitLiWL−=(1-4)因此,电感的储能只与当时的电流值有关,电感电流不能跃变,反映了储能不能跃变。电感储存的能量一定大于或等于零3.电容元件电容元件被定义为储存电场能量的两端元件。任何时刻储存的电荷与电压成正比的电容元件称为线性电容元件。线性电容元件的库伏特性曲线是通过坐标原点的直线,如图1-12a。q与u成正比,满足q=Cu,比例系数C称为线性电容元件的电容,它是电容元件的参数。电容的单位是F(法拉),常用μF表示:1μF=10-6F。线性电容符号如图1-12b所示。(1)电容的电压、电流关系u、i取参考方向一致,如图1-12b所示。有dtduCdtdCudtdqi===(1-5)图1-12线性电容公式(1-5)表明:电容电流i的大小取决于电压u的变化率,与u的大小无关,电容是动态元件;当u为常数(直流)时,i=0。电容相当于开路;实际电路中电容的电流i为有限值,则电容电压u不能跃变,必定是时间的连续函数。显然,当电容的u,i参考方向相反时,上述微分表达式前要冠以负号。(2)电容的功率和储能1)功率u、i取参考方向一致,p=ui表示电容元件吸收的代数功率,udtduCuip⋅==当p>0W时,电容实际吸收功率;当p<0W时,电容实际发出功率。因此,电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来,在另一段时间内又把能量释放回电路,因此电容元件是储能元件,它本身不消耗能量。2)电容的储能电工与电子技术6)(21)(21)(21)ξ(21dddu2222tCuCutCuCuξξCuWttC=−∞−===∞−∞−∫(1-6)从t0到t电容储能的变化量)(21)(21022tCutCuWC−=(1-7)因此,电容的储能只与当时的电压值有关,电容电压不能跃变,反映了储能不能跃变。电容储存的能量一定大于或等于零4.理想电压源两端电压总能保持定值或一定的时间函数,其值与流过它的电流i无关的元件叫理想电压源。电动势元件就是理想电压源。理想电压源的电路符号如图1-13所示。(1)理想电压源的电压、电流关系电压的方向是指电位下降的方向,电动势的方向是指电位上升的方向。因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