2011-2012学年度八年级下学期期中考试数学试卷

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外测距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．本题15分)如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km／h的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变．若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点，训练时要求A、B两船始终关于O点对标.以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向，设A、B两船可近似看成在双曲线xy4上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A、B两船恰好在直线xy上，三船同时发现湖面上有一遇险的C船.此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）.（1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A（）、B（）和C（）.（2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3∶4.问教练船是否最先赶到？请说明理由.已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；（3）若直线y=-x+交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE•CF为定值．解：（1）∵y=2x-1的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点，∴，∴k=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵A（1，m）在反比例函数y=上，y（百米）x（百米）ODAB1－1－1·C∴A（1，1），若∠ABO=90°，则B（1，0）；若∠OAB=90°，则B（2，0）．∴在x轴上存在点B，使△AOB为直角三角形，且满足条件的点B有两个，即：B1（1，0），B2（2，0）；（3）设P（x，y），∵直线y=-x+交x轴于C，交y轴于D，∴C（0.5，0），D（0，0.5），∴△OCD为等腰直角三角形．作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，则△FMC、△DEN为等腰直角三角形，∴FC=FM=y，DE=EN=x，∴DE•CF=2xy，∵P（x，y）在y=上，∴xy=1，∴DE•CF=2．（本题满分8分）三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离．．．．（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：（1）牧童B的划分方案中，牧童▲（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；（3分）（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）（5分）4．如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并将y轴于点D（0，-2），若S△AOD=4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．