抽样分布

第6章统计量及其抽样分布学习目标1.区分总体分布、样本分布、抽样分布2.理解抽样分布与总体分布的关系3.掌握单总体参数推断时样本统计量的分布4.掌握双总体参数推断时样本统计量的分布§6.1统计量统计量的概念常用统计量次序统计量充分统计量统计量(statistic)定义：设X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造的一个函数T(X1，X2，…，Xn),不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1，X2，…，Xn)是一个统计量。根据样本数据计算出来的一个量！【例】设是从某总体X中抽取的一个样本，则统计量(statistic)nXXX,...,,21niiniiXXnSXnX1221)(11)(/)(,)(21XDXEXXEXinii是统计量不是统计量参数和统计量1.参数(parameter)研究者想要了解的总体的某种特征值所关心的参数主要有总体均值()、标准差()、总体比例()等总体参数通常用希腊字母表示2.统计量(statistic)根据样本数据计算出来的一个量所关心的样本统计量有样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等样本统计量通常用小写英文字母来表示统计中的几个基本概念平均数标准差比例参数统计量xsp总体样本充分统计量nXXX,...,,21),...,,(21nXXXT我们由样本构造统计量的过程，就是把原来杂乱无章的样本观测值用少数几个经过加工的统计量的过程用统计量的值进行推断，而不是用样本观测值进行推断我们希望构造统计量的过程中尽可能保留样本中有关总体的信息假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义充分统计量：统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量充分统计量某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除前3个是不合格品，其他都是合格品。当企业领导问及检查结果时，质检员给出如下两种回答：（1）抽检的100个元件中有3个不合格；（2）抽检的100个元件中前3个不合格。哪一种回答包含了样本中的全部信息？§6.2三种不同性质的分布一.总体分布二.样本分布三.抽样分布1.总体中各元素的观察值所形成的分布2.分布通常是未知的3.可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)总体1.一个样本中各观察值的分布2.也称经验分布3.当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)样本1.样本统计量的概率分布2.是一种理论概率分布3.随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等4.结果来自容量相同的所有可能样本5.提供了样本统计量的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布(samplingdistribution)抽样分布(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本§6.3由正态分布导出的几个重要分布一、2分布二、t分布三、F分布1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设随机变量X1，X2，…，Xn，相互独立，且Xi（i=1，2，…，n）服从正态分布N(0，3.1)，则它们的平方和服从自由度为n的2分布。2分布(2distribution)niix12设，则令，则Y服从自由度为1的2分布，即2分布(2distribution)),(~2NX)1,0(~NXZ2ZY)1(~2Y1.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)4.可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布(性质和特点)2分布(图示)选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的2值不同容量样本的抽样分布2n=1n=4n=10n=20总体t分布设随机变量X~N(0，1)，Y~2(n),且X与Y独立，则nYXt服从t分布，记为t(n),其中n为自由度。t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布Xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z1.由统计学家费舍(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则3.称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布(Fdistribution)21nVnUF),(~21nnFFF分布(图示)不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)§6.4样本统计量的抽样分布(一个总体参数推断时)一.样本均值的抽样分布二.样本比例的抽样分布三.抽样方差的抽样分布样本均值的抽样分布1.容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布2.一种理论概率分布3.进行推断总体总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差5.21NxNii25.1)(122NxNii样本均值的抽样分布(例题分析)现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的抽样分布(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X5.2X625.02X样本均值的抽样分布与中心极限定理=50=10X总体分布n=4抽样分布Xn=165x50x5.2x当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布，即X～N(μ,σ2/n)一个任意分布的总体xX中心极限定理(centrallimittheorem)的分布趋于正态分布的过程X抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布(数学期望与方差))(XEnX22122NnNnX样本均值的抽样分布(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n为样本数目MnMXnixiX222122625.016)5.20.4()5.20.1()(5.2160.45.10.11MXniiX课堂练习从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n=100的简单随机样本，用样本均值估计总体均值。（1）的数学期望是多少？（2）的标准差是多少？（3）的抽样分布是什么？XXXX均值的抽样标准误1.所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度2.小于总体标准差3.计算公式为nX样本比例的抽样分布1.总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为4.比例(proportion)NNNN101或nnPnnP101或1.容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布2.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似3.一种理论概率分布4.推断总体总体比例的理论基础样本比例的抽样分布1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布(数学期望与方差))(PEnP)1(21)1(2NnNnP课堂练习1、从的总体中，抽取n=100的简单随机样本。（1）P的数学期望是多少？（2）P的标准差是多少？（3）P的抽样分布是什么？2、假定总体比例为，从该总体中分别容量为100，200，500和1000样本。（1）分别计算样本比例的标准差（2）当样本容量增大时，样本比例的标准差有何变化？4.055.0p样本方差的抽样分布样本方差的分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)2分布，即)1(~)1(222nsn22)1(sn1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设随机变量X1，X2，…，Xn，相互独立，且Xi（i=1，2，…，n）服从正态分布3.N(0，1)，则它们的平方和服从自由度为n的2分布。2分布(2distribution)niix12设，则令，则Y服从自由度为1的2分布，即2分布(2distribution)),(~2NX)1,0(~NXZ2ZY)1(~2Y1.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)4.可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布(性质和特点)2分布(图示)选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的2值不同容量样本的抽样分布2n=1n=4n=10n=20总体§6.5样本统计量的抽样分布(两个总体参数推断时)一.两个样本均值之差的抽样分布二.两个样本比例之差的抽样分布三.两个样本方差比的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布1.两个总体都为正态分布，即，2.两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和两个样本均值之差的抽样分布),(~2111NX),(~2222NX21XX2121)(XXE222121221nnXX两个样本均值之差的抽样分布11总体122总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2