《二次函数的图象和性质》综合测试题3

二次函数的图象和性质综合检测题（时间：90分钟，总分：120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（）A.（2，0）B.（－2，0）C.（0，4）D.（0，－4）2.在平面直角坐标系中，抛物线21yx与x轴的交点的个数是（）A.3B.2C.1D.03.抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.二次函数362xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.3kB.03kk且C.3kD.03kk且5.已知反比例函数y＝kx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y＝2kx2－x+k2的图象大致为如图2中的（）6.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图3，则点（b，ca）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A.y＝x2+aB.y＝a(x－1)2C.y＝a(1－x)2D.y＝a(l+x)28.若二次函数y＝ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值为（）A.a+cB.a－cC.－cD.c9.不论m为何实数，抛物线y＝x2－mx＋m－2（）A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点D.在x轴下方10.若二次函数y＝x2－x与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的图2图3图1是（）A.这两个函数图象有相同的对称轴B.这两个函数图象的开口方向相反C.方程－x2+k＝0没有实数根D.二次函数y＝－x2＋k的最大值为12二、填空题（每题3分，共24分）11.顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为.12.若点A(2，m)在抛物线y＝x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是.13.二次函数y＝2x2+bx+c的顶点坐标是(1，－2).则b＝，c＝.14.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0）与一次函数y＝kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4），B(8，2)，如图4所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是.15.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入…12345…输出…25101726…若输入的数据是x时，输出的数据是y，y是x的二次函数，则y与x的函数表达式为.16.平移抛物线y＝x2+2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式.17.抛物线y＝ax2+bx+c中，已知a∶b∶c＝l∶2∶3，最小值为6，则此抛物线的解析式为.18.把一根长100cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是.三、解答题19.利用二次函数的图象求下列方程的近似根：（1）x2＋x－12＝0；（2）2x2－x－3＝0.图420.已知抛物线与x轴交于点(1，0)和(2，0)且过点(3，4).求抛物线的解析式.21.已知二次函数y＝x2－6x+8.求：（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？22.当x＝4时，函数y＝ax2+bx+c的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求：（1）顶点坐标和对称轴；（2）函数的表达式；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小.23.已知抛物线y＝x2－2x－8.（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积.24.如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长(结果精确到0.1米).25.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图6所示的一次函数关系.（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单图68060402006421x(元)y(万件)53图7价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？26.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMND图2OABCMNP图1OABCMNP图3O参考答案一、1.D；2.B；3.A；4.D；5.D；6.D；7.D；8.D.提示：当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，列式并分解因式，由x1≠x2，得到x1+x2＝0，即得；9.C；10.C.二、11.y＝－x2－4x－9；12.(－2，4)；13.－4、0；14.x＜－2或x＞8；15.y＝x2＋1；16.答案不惟一，如，y＝x2+2x；17.y＝3x2+6x+9；18.312.5cm2.三、19.函数y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝的解；20.y＝2x2－6x+4；21.（1）由题意，得x2－6x+8＝0.则(x－2)(x－4)＝0，x1＝2，x2＝4.所以与x轴交点为（2，0）和（4，0），当x＝0时，y＝8.所以抛物线与y轴交点为（0，8），（2）抛物线的顶点坐标为（3，－1），（3）如图1所示.①由图象知，x2－6x+8＝0的解为x1＝2，x2＝4.②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0；22.（1）（4，－8），x＝4，（2）y＝2x2－16x+24，（3）x＞4时，y随x的增大而增大，x＜4时，y随x的增大而减小；CAyxoB图2图123.（1）证明：因为对于方程x2－2x－8＝0，有x1＝2，x2＝4，即所以方程x2－2x－8＝0有两个实根，抛物线y＝x2－2x－8与x轴一定有两个交点；（2）解：因为方程x2－2x－8＝0有两个根为x1＝2，x2＝4，所以AB＝|x1－x2|＝6.又抛物线顶点P的纵坐标yP＝244acba＝－9，所以SΔABP＝12×AB×|yP|＝27；24.如图2，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0.5），B(－450,94.5)，C(450，94.5).由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5.将C(450，94.5)代入求得：47101250a或294450a.所以2470.5101250yx.当x=350时，y=57.4；当x=400时,y=74.8.所以，离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长都约为74.8米．25.（1）由图象中提供的信息可设y＝kx+b，此时的图象过点(60，5)，(80，4)，于是，有560,480.kbkb解得1,208.kb所以y关于x的函数关系式是y＝－120x+8.（2）z＝yx－40y－120＝（－120x+8）（x－40）＝－120x2+10x－440，所以当x＝100元时，最大年获得为60万元.（3）依题意可画出（2）中的图象，如图3，令z＝40，得40＝－120x2+10x－440，整理，得x2－200x+9600＝0，解得x1＝80，x2＝120.由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元.26.解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．图3O406010012080x(元)y(万元)∴△AMN∽△ABC．∴AMANABAC，即43xAN．∴AN＝43x．∴S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=21MN．在Rt△ABC中，BC＝22ABAC=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴AMMNABBC，即45xMN．∴54MNx，∴58ODx．过M点作MQ⊥BC于Q，则58MQODx．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴BMQMBCAC．∴55258324xBMx，25424ABBMMAxx．ABCMND图2OQABCMNPO∴x＝4996．∴当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴12AMAOABAP．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，2Δ83xSyPMN．∴当x＝2时，2332.82y最大②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴424PFxxx．ABCMNP图4OEFABCMNP图3O又△PEF∽△ACB．∴2PEFABCSPFABS．∴2322PEFSx．MNPPEFySS＝222339266828xxxx．当2＜x＜4时，29668yxx298283x．∴当83x时，满足2＜x＜4，2y最大．综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2．