传输线基本理论

9第二章传输线基本理论§2-1引言一、传输线的种类用来传输电磁能量的线路称为传输系统，由传输系统引导向一定方向传播的电磁波称为导行波。和低频段不同，微波传输线的种类繁多。按其上传播的导行波的特征可分为三大类：①TEM波传输线。如平行双线、同轴线以及微带传输线（包括带状线和微带）等；②波导传输线。如矩形波导、圆柱波导、椭圆波导及脊波导等；③表面波传输线。如介质波导、镜像线及单根线等等。各类传输线示于图2-1-1中。10微波传输线不仅能将电磁能量由一处传送到另一外，还可以构成各种各样的微波元件，这与低频传输截然不同。不同的频段，可以选不同类型的传输线。对传输线的基本要求是：损耗小、效率高；功率容量大；工作频带宽；尺寸小且均刀。二、分布参数的概念“长度”有绝对长度与相对长度两种概念。对于传输线的“长”或“短”，并不是以其绝对长度而是以其与波长比值的相对大小而论的。我们把比值λ/l称为传输线的相对长度。在微波领域里，波长λ以厘米或毫米计。虽然传输线的长度有时只不过是几十厘米甚至几个毫米，比如传输频率为3GHz的同轴电缆虽只有半米长，但它已是工作波长的5倍，故须把它称为“长线”；相反，输送市电的电力传输线（频率为50Hz）即使长度为几千米，但与市电的波长（6000千米）相比小得多，因此只能称为“短线”而不能称为“长线”。微波传输线都属于“长线”的范畴，故本章又可称作长线的基本理论。11我们用图2-1-2所示线上的电压（或电流）随空间位置的分布状况来说明长、短线的区别。图a示出的是半波长的波形图，AB是线上的一小段，它比波长小许多倍。由图可见，线段AB上各点电压（或电流）的大小和相位几乎不变，此时的AB应视为“短线”。如果频率升高了，虽然线段长仍为AB，但在某一瞬时其上各点电压（或电流）的大小和相位均有很大变化，如图b所示，此时线段AB即应视为“长线”。前者对应于低频率传输线。它在低频电路中只起连接线的作用，因频率低，其本身分布参数所引起的效应过错全可以忽略不计，所以在低频电路中只考虑时间因子而忽略空间效应，因而把电路当作集中参数电路来处于是允许的。后者对应于微波传输线。因为频率很高时分布参数效应不能再忽视了，传输线不能仅当作连接线，它将形成分布参数电路，参与整个电路的工作。因而传输线在电路中所引起的效应必须用传输线理论来研究。12亦即，在微波传输线上处处存在分布电阻、分布电感，线间处处存在分布电容和漏电电导。我们用R1、L1、G1、C1分别表示传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，它们的数值与传输线截面尺寸、导体材料、填充介质以及工作频率有关。表2-1-1列同了平行双导线和同轴线的各分布参数表达式。根据传输线上分布参数的均刀与否，可将传输线分为均刀和不均刀两种。本章讨论的主要是均刀传输线。对一均刀传输线，由于参数沿线均刀分布，故可任取一小线元dz来讨形论。因dz很小，故可将它看成一个集总参数电路。用一个Γ（T或π形）四端网络来等效，如图2-1-3a所示。于是，整个传输线就可看成是由许多相同线元的四端网络级联而成的电路，如图2-1-3b所示。这是有耗传输线的等效电路，对于无耗传输线（即R1=G1=0），其等效电路如图2-1-3c所示。表2-1-1平行双导线和同轴线的分布参数传输线参数双导线同轴线L1(H/m)ddDD22ln−+πµabln2πµC1(F/m)ddDD221ln−+πεabln21πεR1(Ω/m)222σωµπd+baf1142πσµG1(S/m)ddDD221ln−+πσabln21πσ注：1σ为导体是介质不理想的漏电电导率；2σ为导体的电导率，单位为S/m；µ为磁导率；1ε为介质介电常数。有了上述等效电路就容易解释传输线上电压、电流不相同的现象。参13看图b，由于aa′和bb′这间有患联电阻存在，二处的阻抗不相等，因而两处的电压也不相同；又由线间并联回路的分流作用，通过a和b点的电流亦不相同。同时还可看出，当接通电流后，电流通过分布电感逐次向分布电容充电形成向负载传输的电压波和电流波。就是说电压和电流是以波的形式在传输线上传播并将能量从电源传至负载。§2-2传输线方程一、传输线方程表征均刀传输线上电压电流关系的方程式称为传输线方程。该方程最初是在研究电报线上电压电流的变化规律时推导出来的，故又称做“电报方程”。分析图2-2-1所示的微波传输系数。令传输线上距始端为z处的瞬时电压、瞬时电流分别为u、i；在dzz+处则分别为duu+和dii+。其中u、i既是空间位置z又是时间t的函数，即14图2-21传输线等效电路),(),(tziitzuu==于是，在某一时刻经过微小线元dz后，电压电流的变化分别为dzzudu∂∂−=−dzzidi∂∂−=−我们知道，线元dz两端处电压、电流的变化（减小）是由于串联阻抗的电位降、并联导纳分流造成的，它们遵循基尔霍夫定律，即tidzLidzRdzzu∂∂•+•=∂∂−11tudzCudzGdzzi∂∂•+•=∂∂−11消去dz，上式变为分布参数电路的微分方程式tiLiRdzzu∂∂+=∂∂−11(2-2-1)tuCuGdzzi∂∂+=∂∂−11(2-2-2)此即为均刀传输线方程或称电报方程。二、波动方程考查无耗传输线的情况，此时01=R、01=G。式（2-2-1）、（2-2-2）退化为tiLzu∂∂=∂∂−//1、tuCzi∂∂=∂∂−//1。将前式再对z微分一次并将后式代入，将后式再对z微分一次并将前式人攻，整理后即可得到221122tuCLzu∂∂=∂∂(2-2-3a)tiCLzi∂∂=∂∂21122(2-2-3b)15此即无耗传输线的波动方程式。这是一组二阶偏微分方程，两式的形式完全一样，故我们只讨论其中一个即可，比如选择式（2-2-3a）进行讨论。根据工程数学，上述方程可以写出下列四个独立的达良贝尔解的形式，即)()(21ztvuztvuupp++−=(2-2-4a))()(21ztviztviipp++−=(2-2-4b)将式（2-2-4a）式代入式（2-2-3a）中，有[])()()()(22121121ztvuvztvuvCLztvuztvupppppp+′′+−′′=+′′+−′′于是解得11/1CLvp=(2-2-5)由此可见，式（2-2-4a）的第一项表示以速度pv沿z轴正方向传播的任意形状的电压波，如图2-2-2所示。我们考查任意时刻t，波形)(1ztvup−上的A点，它随整个波形以速度pv向+z方向行进。经过时间t∆后，A点到达虚线波形上的A′点，此电压波形为)]([])([11tvztvuzttvuppp∆∆−−=−+，即A点沿+z方向移动了tvp∆。同样地，式（2-2-4a）的第二项)(2ztvup+则表示向-z方向移动的电压波。若选式（2-2-3b）来讨论，则式（2-2-4b）中的)(1ztvip−和)(2ztvip+分别代表以速度pv沿+z和-z两个方向传播的电流波。三、正弦波动正弦波动是波动中最基本的传播形式。此时的电压、电流可分别表示16为22tjUeuω=(2-2-6a)22tjIeiω=(2-2-6b)式中U、I只是距离z的函数而与时间t无关，它们分别代表电压、电流的复振幅。将上二式分别代放微分方程式（2-2-1）和（2-2-2）中，得到IZILjRdzdU111)(≡+=−ω(2-2-7)UYUCjGdzdI111)(≡+=−ω(2-2-8)式中111LjRZω+≡(2-2-9a)111CjGYω+≡(2-2-9b)1Z称为传输线单位长度的串联阻抗；1Y称为传输线单位长度的并联导纳。将式（2-2-7）再对z微分一次并将式（2-2-8）代入，即得UYZdzUd1122=(2-2-10)这是一个二阶齐次常微分方程。把它的解的形式zeδ代入上式即可得到其特征方程112YZ=δ(2-2-11)由于实际上微波传输线的损耗R1、G1比1Lω、1Cω小是多，则将式（2-2-9）代入上式可求得δ的值为))((1111CjGLjRωωδ++±=)/1)(/1(1111112CjGLjRCLωωω++−±=++±=++±≈1111111111111122)2/2/1(CLjCLGLCRCjGLjRCLjωωωω令17()γδβαγ±=+=j(2-2-12)则11111122CLGLCR+=α(2-2-13a)11CLωβ=(2-2-13b)于是式（2-2-10）的解可以表示为zeγ−和zeγ的线性组合，即zzBeAeUγγ+=−(2-2-14)式中，A、B是待定积分常数，须由传输线的边界条件来确定。将式（2-2-14）代入式（2-2-7）可得到电流解为)(10zzBeAeZIγγ−=−(2-2-15)其中110/YZZ=(2-2-16)称为传输线的特性阻抗。四、传输特性将式（2-2-1）和（2-2-15）代入式（2-2-6），可得出传输线上的电压、电流瞬时值的表达式为)()(2222ztjzztjzeBeeAeuβωεβωα+−−+=(2-2-17))(0)(02222ztjzztjzeeZBeeZAiβωεβωα+−−−=(2-2-18)由上式可见，传输线上任一点的电压、电流均包括两部分：第一项包含因子)(ztjzeeβωα−−，它表示随着z的增大，其振幅将按zeα−规律减小，且相位连续滞后。它代表由电源向负载方向（+z方向）传播的行波，即入射波；第二项包含因子)(ztjzeeβωε+，它表示随着z的增大，其振幅将按zeα规律增大，且相位连续超前。它代表由负载电源方向（-z方向）传播的行波，即反射波，如图2-2-3所示。这就是说，传输线上任一点的电压、电流通常都由18入射波和反射波两部分迭加而成的。1．特性阻抗0Z参看式（2-2-14）、（2-2-15），用符号“+”、“-”分别表示电压或电流的入射波、反射波，则有==−−+zzBeUAeUγγ(2-2-19)及==−−+zzeZBIeZAIγγ00(2-2-20)于是，式（2-2-14）、（2-2-15）可分别写成−=+=−+−+IIIUUU(2-2-21)根据式（2-2-19）、（2-2-20）写出入射波的电压和电流之比为19======−−−−−−++11001100//YZZeZBBeIUYZZeZAAeIUzzzzγγγγ(2-2-22)入射波和反射波都是行波，故可定义：行波电压和行波电流之比称为传输线的特性阻抗，记以0Z。于是1111110CjGLjRYZZωω++==(2-2-23a)由于线路损耗很小，即11LRω、11CGω，所以利用处理式（2-2-11）时采用的近似方法便可得到−−=1111110221CGLRjCLZωω(2-2-23b)（1）对于无耗传输线，由于01=R、01=G，则110/CLZ=(2-2-24)（2）对于微波传输线，由于11LRω、11CGω，则110/CLZ=(2-2-25)由式（2-2-24）、（2-2-25）可见，在无耗或微波传输情况下，传输线行性阻抗呈纯阻性，仅取决于传输线的分布参数1L和1C，与工作频率无关，也与传输线的位置无关，这是一个很可贵的特性。2．传输常数γ由式（2-2-12）可知，传输线上波的传输常数的一般表达式为βαωωγjCjGLjR+=++=))((1111(2-2-26)上式表明，在一般情况下，传播常数γ为一复数。其实部α称为衰减常数。将式（2-2-24）代入式（2-2-13a）得到dcZGZRCLGLCRααα+=+=+=22220101111111(2-2-27)式中20012ZRc=α——导体电阻引起的损耗(2-2-28a)201ZGd=α——导体间介质引起的损耗(2-2-28b)这就是说，当传输线存在损耗（该损耗部分是由导体电阻的热损耗引起的，部分是由介质极化损耗引起的）时，波的振幅将按指数律减小。γ的虚部β如式（2-2-13b）所示11CLωβ=(2-2-29)因为zβ表示正弦波在z