中考数学二次函数性质综合题

第二部分题型研究题型二二次函数性质综合题类型二二次项系数不确定型针对演练1.(2013杭州)已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点A、B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A、C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A，B的坐标；(2)若抛物线在－2≤x≤3的区间上的最小值为－3，求m的值；(3)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3.已知二次函数y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2.(1)若二次函数图象经过直线y＝x－1与x轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数图象上的两个点，若满足x1＋x2＝－3，试比较y1和y2的大小关系．4.(2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．考向2)函数类型不确定型(杭州：，，针对演练1.(2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2.(2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．第2题图3.(2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负．实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．4.已知函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2(k为常数)．(1)求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；(2)当k为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3若存在，求出此时的k值；若不存在，请说明理由．5.已知关于x的函数y＝kx2＋(2k－1)x－2(k为常数)．(1)试说明：无论k取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)；(2)在x0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；(3)若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形面积为4，求此时k的值．6.关于x的函数y＝2kx2＋(1－k)x－1－k(k是实数)，探索发现了以下四条结论：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当k＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；③当k0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；④当k≠0时，函数图象总经过两个定点．请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1.解：∵点C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段OC长为8，∴n＝±8，①当n＝8时，一次函数为y2＝43x＋8，当y＝0时，x＝－6，求得点A的坐标为A(－6，0)，∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16，∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；如解图①所示，抛物线的对称轴是x＝2，由图象可知：当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2；第1题解图①②当n＝－8时，一次函数为y2＝43x－8，当y＝0时，x＝6，求得点A的坐标为(6，0)，∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16，∴这时抛物线开口向上，B(－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x＝－2，由图象可知：当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2或x≤－2.2.解：(1)当x＝0时，y＝－2，∴A(0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x＝－－2m2m＝1，∴B(1，0)；(2)易知抛物线y＝mx2－2mx－2的对称轴为x＝1，当m＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x≤3，∴y最小值在x＝1处取得，y最小值＝－m－2，∴－m－2＝－3，∴m＝1，当m＜0时，抛物线开口向下，y最小值在x＝－2处取得，即8m－2＝－3，∴m＝－18.故m的值为1或－18.(3)易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′(2，－2)，则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则2k＋b＝－2k＋b＝0，解得k＝－2b＝2，∴直线l的解析式为y＝－2x＋2；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在－1＜x＜0这一段关于对称轴对称，则抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为－1，当x＝－1时，y＝－2×(－1)＋2＝4，∴抛物线过点(－1，4)，当x＝－1时，m＋2m－2＝4，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2.3.解：(1)∵直线y＝x－1与x轴的交点为(1，0)，y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2经过点(1，0)，∴0＝k＋3k＋2＋2k＋2，∴6k＋4＝0，即k＝－23.∴抛物线的解析式为y＝－23x2＋23.(2)∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)是二次函数图象上两个点，∴y1＝kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2，y2＝kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2，两式相减，得y1－y2＝[kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2]＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，当x1＞x2时，y1＞y2；当x1＝x2时，y1＝y2；当x1＜x2时，y1＜y2；4.解：(1)∵点A(1，k)在反比例函数图象上，∴设反比例函数为y＝kx，∵k＝－2，∴y＝－2x；(2)要使得反比例函数是y随着x的增大而增大，∴k0.而对于二次函数y＝kx2＋kx－k，其对称轴为x＝－12，要使二次函数满足上述条件，在k0的情况下，则x必须在对称轴的左边，即x－12时，才能使得y随着x的增大而增大；综上所述，则k0，且x－12时，反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大；(3)由(2)可得Q(－12，－54k)；第4题解图∵A点与B点关于原点对称，∴原点O平分AB.又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，∴OQ＝OA＝OB.作AD⊥OC，QC⊥OC，OQ＝CQ2＋OC2＝2516k2＋14.而OA＝AD2＋OD2＝1＋k2，∴14＋2516k2＝1＋k2，则k＝233或k＝－233.考向2函数类型不确定型针对演练1.解：k只有取－1时，才有最大值，当k＝1，函数为y＝－4x＋4，是一次函数，一次函数无最值，当k＝2，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值；当k＝－1，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为y＝－2(x＋1)2＋8，则当x＝－1时，ymax＝8.2.解：(1)当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，则此函数为二次函数，它的图象与x轴交于点(1，0)、(－3，0)，与y轴的交点为(0，3)，顶点为(－1，4)，利用描点法所画函数的图象如解图：第2题解图(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可)(3)k＝2时，函数y2＝(x－1)2，此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3图象的顶点坐标为(－3，－2)，则y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数的最小值等于－2.3.解：(1)如两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，画出函数图象如解图，第3题解图(2)不论k取何值，函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x轴至少有1个交点.证明如下：由y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得k(x2＋2x)＋(x－y＋1)＝0.当x2＋2x＝0且x－y＋1＝0，即x＝0，y＝1或x＝－2，y＝－1时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)．又因为当k＝0时，函数y＝x＋1的图象与x轴有一个交点；当k≠0时，∵Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋10，所以函数图象与x轴有两个交点．所以函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象与x轴至少有1个交点.(3)只要写出m≤－1的数都可以.∵k0，∴函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图象在对称轴x＝－2k＋12k的左侧时，y随x的增大而增大.4.(1)证明：若k＝1时，函数为一次函数，与x轴有交点，若k≠1时，函数为二次函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2Δ＝1－4(k－1)(2－k)＝(2k－3)2≥0，∴不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；(2)解：∵函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2过原点，∴－k＋2＝0，∴k＝2，∴y＝x2＋x，令y＝x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1，∴函数图象与x轴的另一个交点为(－1，0)；(3)解：①k－1＝0即k＝1时，函数y＝x＋1为一次函数，无最小值．②当k－1＞0即k＞1时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即4（k－1）（2－k）－14（k－1）＝－3，解得k＝3±152，均符合题意．故此时k的值为3±152.5.解：(1)将x＝－2代入，得y＝k(－2)2＋(2k－1)·(－2)－2＝0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点(－2，0).(2)①若k＝0，此函数为一次函数y＝－x－2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＝0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过(－2，0)、(0，－2)，∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，需满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0.(3)由题意可知2×|2k－1－2k|＝4.解得k＝－12或k＝16.故此时k的值为－12或16.第5题解图6.解：①假命题；理由：当k＝0时，y＝x－1为一次函数，与坐标轴只有两个交点；②真命题；理由：当k＝－3时，y＝－6x2＋4x＋2＝－6(x－13)2＋83，∴顶点坐标是(13，83)；③真命题；理由：当k0时，令y＝0得：Δ＝(1－k)2－4×2k(－1－k)＝(3k＋1)2，∴x＝k－1±（3k＋1）4k，∴x1＝1，x2＝－12－12k，∵|x1－x2|＝32＋12k32，∴函数图象截x轴所得的线段长度大于32；④真命题；理由：当k≠0时，y＝2kx2＋(1－k)x－1－k＝(2x2－x－1)k＋x－1，当2x2－x－1＝0时，y的值与k无关，此时x1＝1，x2＝－12；当x1＝1时，y1＝0；当x2＝－12时，y2＝－32，∴函数图象总经过两个定点(1，0)，(－12，－32)．