全等三角形常见模型

课程主题：全等三角形的常见模型授课时间：学习目标1、掌握全等三角形的常见模型：手拉手模型、半角模型、K字形类型一、手拉手模型例1.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别做正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于P点，BE与CD交于点Q，连接PQ。以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE③AP=BQ④DE=DP⑤∠AOB=60。下列结论恒成立的有例2．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．（1）求证：BE=DC；（2）求∠BOD的度数；（3）求证：OA平分∠DOE．例3.已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD的延长线交AC于点F，交CE于G．（1）求证：BD⊥CE；（2）连接AG，求证：EG+DG=AG．例4.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个例5．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（）A．B．4C．D．4.5活学活用1．如图，B是线段AC上一点，△ABD与△BCE均为等边三角形．（1）求证：AE=CD；（2）若△BCE'与△BCE关于直线AC轴对称，AE'与CD还相等吗？画出图形．若相等，请给出证明；若不相等，说明理由；（3）AE'与BD相交于点F，CD与BE'相交于点G，连接FG，试判断△FBG的形状，并加以证明．2．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）AE与DC的夹角为60°；（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．3.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．4．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）5．探究：如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．应用：如图2，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．6.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=，tan=34，CD=5，AD=12，求BD的长．类型二、半角模型例1、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）在（1）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．（4）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．例2.（1）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为．（2）应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，活学活用1.如图．正方形ABCD的边长为6．点E，F分别在AB，AD上．且∠ECF=45°，试说明线段DF、EF与BE之间的数量关系以及线段CF的长。2、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN3.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_________；（2）如图2，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是______；此时LQ=_______；（3）点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．类型三、“K”字型例1．“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量AB=20米，∠DEC=90°，∠ECD=45°，则该花园面积为平方米．例2．如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是．活学活用1.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．2.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=1.如图所示，在四边形ABCD中，30ABC，将DCB绕点C顺时针旋转60后，点D的对应点恰好与点A重合，得到ACE。若AB=3，BC=4，则BD=（提示：可连接BE）2.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上，若BE=2，CE=4，AE=．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，若CD=，则DE=．4.如图，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G，BE=4，DE=3，则AG=．5.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是．6.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．A45B55C65D607.如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE+GD中一定成立的结论有（写出全部正确结论）．A①②③④B①②③C①③④D①③8.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是（）A．B．C．D．59.已知：如图，在ABC，ADE中，90DAEBAC，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE。以下四个结论：①BD=CE；②CEBD；③45DBCACE；④2222ABADBE。其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.410.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）11．等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD，证明：（1）AE=DC；（2）AE与DC的夹角为60°；（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分∠AHC．12.如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE（1）证明：△ADC≌△ABE；（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由；（3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地_______平方米．（不用写过程）13.问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌，得EH=ED．在Rt△HBE中，由定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．