高中数学的中对称性问题

实用标准文档对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1.函数()yfx有()()faxfbx（若等式两端的两自变量相加为常数，如()()axbxab），则()fx的图像关于2abx轴对称；当ab时，若()()(()(2))faxfaxfxfax或，则()fx关于xa轴对称；2.函数()yfx有()()fxafxb（若等式两端的两自变量相减为常数，如()()xaxbab），则()fx是周期函数，其周期Tab；当ab时，若()()fxafxa，则()fx是周期函数，其周期2Ta；3.函数()yfx的图像关于点(,)Pab对称()(2)2(()=2(2))fxfaxbfxbfax或；函数()yfx的图像关于点(,0)Pa对称()=(2)fxfax(()=())faxfax或；4.奇函数()yfx的图像关于点(,0)Pa对称()yfx是周期函数，且2Ta是函数的一个周期；偶函数()yfx的图像关于点(,0)Pa对称()yfx是周期函数，且4Ta是函数的一个周期；5.奇函数()yfx的图像关于直线xa对称()yfx是周期函数，且4Ta是函数的一个周期；偶函数()yfx的图像关于直线xa对称()yfx是周期函数，且2Ta是函数的一个周期；6.函数()yfx的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称函数()yfx是周期函数，且2()Tab是函数的一个周期；7.函数()yfx的图像关于直线xa和直线xb对称函数()yfx是周期函数，且2()Tab是函数的一个周期。实用标准文档关系图像特征()()fxfx关于y轴对称()()fxfx关于原点对称()()faxfxa关于y轴对称()()faxfax，或()(2)fxfax关于直线xa对称()()fxfax关于直线2ax轴对称()()faxfbx关于直线2abx对称()()fxfxa周期函数，周期为a(,)Pab:0lAxByC:(,)0Cfxy原点（0，0）(,)ab()()0AxByC(,)0fxy00(,)Mxy00(2,2)xayb00(2)(2)0AxxByyC00(2,2)0fxxyyx轴(,)ab()0AxByC(,)0fxyy轴(,)ab()0AxByC(,)0fxy直线xy(,)ba0BxAyC(,)0fxy直线xy(,)ba()()0BxAyC(,)0fyx0xym(,)bmam()()0AymBxmC(,)0fymxm0xym(,)bmam()()0AymBxmC(,)0fymxm于的中心（）直于的曲于的于直的（）直于直的曲于直的点关点对称对称问题点对称问题线关点对称线关点对称对称问题点关线对称轴对称问题线对称问题线关线对称线关线对称一、点对称(1)点关于点的对称点问题点、直线对称点(直线)对称轴(对称中)心实用标准文档若点A11(,)xy,B22(,)xy,则线段AB中点M的坐标是(1212,22xxyy)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M00(,)xy关于点P(,)ab的对称点'M的坐标(,)xy，利用中点坐标公式可得00,22xxyyab，解算的'M的坐标为00(2,2)axby。例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M的坐标是(4,1).①点M00(,)xy关于点P(,)ab的对称点'M的坐标00(2,2)axby;②点M00(,)xy关于原点的对称点'M的坐标0000(2,2)=(,)axbyxy.(2)直线关于点对称①直线L：0AxByC关于原点的对称直线设所求直线上一点为(,)Mxy，则它关于原点的对称点为'(,)Mxy，因为'M点在直线L上，故有()()0AxByC，即0AxByC；②直线1l：0AxByC关于某一点(,)Pab的对称直线2l它的求法分两种情况：1)、当(,)Pab在1l上时，它的对称直线为过P点的任一条直线。2)、当P点不在1l上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l上任取一点(,)Mxy，则它关于P的对称点为'(2,2)Maxby，因为'M点在1l上，把实用标准文档'M点坐标代入直线在1l中，便得到2l的方程即为(2)(2)0AaxBbyC，简化为：220AxByCaAbB.解法（二）：在1l上取一点11(,)Mxy，求出M关于P点的对称点'11(2,2)Maxby的坐标。再由12llAKKB，可求出直线2l的方程。解法（三）：由12llKK，可设1:0lAxByC关于点(,)Pab的对称直线为'0AxByC且2222'AaBbCAaBbCABAB求设'C从而可求的及对称直线方程。(3)曲线关于点对称曲线1:(,)0Cfxy关于(,)Pab的对称曲线的求法：设(,)Mxy是所求曲线的任一点，则M点关于(,)Pab的对称点为(2,2)axby在曲线(,)0fxy上。故对称曲线方程为(2,2)0faxby。二、直线的对称(1)点关于直线的对称1)点(,)Pab关于x轴的对称点为'(,)Pab2)点(,)Pab关于y轴的对称点为'(,)Pab3)关于直线xm的对称点是'(2,)Pmab4)关于直线yn的对称点是'(,2)Panb5)点(,)Pab关于直线yx的对称点为'(,)Pba6)点(,)Pab关于直线yx的对称点为'(,)Pba7)点(,)Pab关于某直线:0LAxByC的对称点'P的坐标解法（一）：由'PP⊥L知，'PPBKA直线'PP的方程→()BybxaA，由0()AxByCBybxaA可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P的坐标。实用标准文档解法（二）：设对称点为'(,)Pxy，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22axby把中点坐标代入L中得到022axbyABC①；再由'PPBKA得byBaxA②，联立①、②可得到'P点坐标。解法（三）：设对称点为'(,)Pxy，由点到直线的距离公式有2222AaBbCAxByCABAB①，再由'PPBKA得byBaxA②，由①、②可得到'P点坐标。(2)直线1l关于直线l的对称直线2l设直线:0lAxByC，则l关于x轴对称的直线是()0AxByC关于y轴对称的直线是()0AxByC关于yx对称的直线是0BxAyC关于yx对称的直线是()()0AyBxC1)当1l与l不相交时，则1l∥l∥2l在1l上取一点00(,)Mxy求出它关于l的对称点'M的坐标。再利用12llKK可求出2l的方程。2)当1l与l相交时，1l、l、2l三线交于一点。解法（一）：先解1l与l组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线2l上。再在1l上找一点B，点B的对称点'B也在2l上，由A、'B两点可求出直线2l的方程。解法（二）：在1l上任取一点11(,)Pxy，则P点关于直线l的对称点Q在直线2l上，再由PQ⊥l，1PQLKK。又PQ的中点在l上，由此解得11(,),(,)xfxyygxy，把点11(,)xy代入直线1l的实用标准文档方程中可求出2l的方程。解法（三）：设1l关于l的对称直线为2l，则2l必过1l与l的交点，且2l到l的角等于l到1l的角，从而求出2l的斜率，进而求出2l的方程。例：求直线1:230lxy关于直线:10lxy对称的直线l２的方程解：设,Mxy为所求直线l２上任意一点，则其关于l对称的点11',Mxy在直线l１上.1'11111(MM',K=-1)10(MM')22MMlyylxxxxyyl即K的中在上1111xyyx1123021130xyyx又故所求直线方程为240xy(3)曲线关于直线对称曲线1C关于直线l的对称曲线2C的方程，在2C上任取一点(,)Mxy，可求出它关于l的对称点坐标，再代入1C中，就可求得2C的方程。例：求圆221xy关于直线l：10xy的对称圆的方程解法（一）：设,Mxy为所求圆上任意一点，则其关于l对称的点11',Mxy在221xy上.1'11111(MM',K=-1)10(MM')22MMlyylxxxxyyl即K的中在上1111xyyx22111xy22111yx--即为对称圆的方程解法（二）：求圆心（0，0）关于l对称点C（1，1）22111yx所求方程圆为例：求椭圆2212yx关于直线l：10xy对称椭圆的方程解：设,Mxy为所求椭圆上任意一点，则其关于l对称的点11',Mxy在2212yx上.2211111112xyxyyx综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴求对实用标准文档称点一般采用，先设对称点(,)Pxy，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,xy的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)Mxy，再利用求对称点的方程求出M点的对称点'M点坐标，将'M点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,xy的关系式，就是所求对称曲线的方程。通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：(,)Pab:0lAxByC:(,)0Cfxy原点（0，0）(,)ab()()0AxByC(,)0fxy00(,)Mxy00(2,2)xayb00(2)(2)0AxxByyC00(2,2)0fxxyyx轴(,)ab()0AxByC(,)0fxyy轴(,)ab()0AxByC(,)0fxy直线xy(,)ba0BxAyC(,)0fxy直线xy(,)ba()()0BxAyC(,)0fyx0xym(,)bmam()()0AymBxmC(,)0fymxm0xym(,)bmam()()0AymBxmC(,)0fymxm三、函数图像自身的对称(1)一般地，函数()yfx的图象关于2abx对称()yfx满足()()faxfbx证明:1)若()yfx满足()()faxfbx,设00(,)Pxy是()yfx的图象上的任意一点,则00()yfx,00(,)Pxy关于直线2abx的对称点是00(,)Qabxy由条件知0000()(())()fabxfbbxfxy点、直线对称点(直线)对称轴(对称中)心实用标准文档所以00(,)Qabxy在()yfx的图象上,故函数()yfx的图象关于2abx对称.2)若函数()yfx的图象关于2abx对称.设00(,)Pxy是()yfx的图象上的任意一点，则00(,)Pxy关于2abx对称点00(,)Qabxy也在()yfx的图象上。从而有000()()yfxfabx。令0bxx则有()()faxfbx特例：①当b=a时，函数()yfx的图象关于xa对称()yfx满足()()faxfax②当a=0,b=2m时，函数()yf