高等数学-专升本

【数列、函数极限的统一定义】;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻二、极限1.极限定义的等价形式(以为例)0xx(即为无穷小)Axf)(有2.极限存在准则及极限运算法则【两个准则】夹逼准则;单调有界准则.【准则Ⅰ】如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.【准则Ⅱ】单调有界数列必有极限.3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小（x→0时）:4.两个重要极限xsin～;x～xcos1～;212x～xarcsin～;x～1xe～;x～1)1(x～;x;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程5.求极限的基本方法6.判断极限不存在的方法(1)利用极限的运算法则，函数连续性求极限(2)利用等价无穷小代换求极限(4)利用极限存在准则求极限(3)利用重要极限求极限(5)利用无穷小运算性质求极限(6)利用左右极限相等求极限(7)利用变量代换求极限【例1】求下列极限：)sin1(sinlim)1(xxxxxsin1sin21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界21)cos1(cos1lim)2(0xxxxxxxx21cos1lim0)cos1(cos12lim20xxxx20)21(limexxax（3）已知则常数a=2200])21[(lim)21(limaxxxaxxx解：2ae故a=-4xxx222lim2解：（4）原式=)22)(2()22)(22(lim2xxxxx=221lim2xx=41【例2】).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn求时当【解】将分子、分母同乘以因子(1-x),则xxxxxxnn1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式xxxxxnn1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn1)1)(1(lim22xxnn11lim12.11x.)0lim,1(12nxxn时当三、连续与间断1.函数连续的等价形式)()(lim00xfxfxx0lim0yx)()()(000xfxfxf,0,0,0时当xx有)()(0xfxf2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点其它有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质【定理1】(有界性与最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和最小值.0)()(],[)(bfafbaxf上连续，且在若【定理2】(零点定理):，使得则至少存在一点),(ba0)(f.)(),(),(,,)()(],,[)(CfbabaCBABbfAafbaCxf使至少存在一点内在开区间之间的任意一个数与那么对于不相等与且端点值设定理3(介值定理):【例3】设函数在x=0连续,则a=,b=.【解】20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxbln2e1)0(f)0(002cos)(axxxaaxxxxf【例4】设a(1)当为何值时，函数在处连续)(xf(1)当a为何值时，函数在处间断，是何种间断点？求函数xxxxf)1(1)(2的间断点，并判断其类型【例5】解：由初等函数在其定义区间上连续知)(xf的间断点为1,0xx21lim)(lim11xxxfxx)(xf在1x处无定义故1x为其可去间断点.xxxfx1lim)(00x为)(xf的无穷间断点.综上得1x为其可去间断点.0x为其无穷间断点【例6】xxxsin30)21(lim求【解Ⅰ】xxsin3)21(6sin21)21(xxxxxxxxe21)21ln(sin6由定理3及极限运算法则得xxxsin30)21(limxxxxxe210)21ln(sin6lim6e【解Ⅱ】xxxsin30)21(lim)21ln(sin3lim0xxxe62sin3lim0eexxxln(1+2x)~2x(x→0)【补充】,0)(lim0xuxx若则有)()(1lim0xvxxxu,)(lim0xvxxee)()(lim0xuxvxxln[1+u(x)]~u(x)(u(x)→0)型1【例7】),1()0(,]1,0[)(ffxf且上连续在闭区间设【证明】),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF).()21(]1,0[ff使得证明必有一点【分析】改写结论为0)()21(ff若考虑辅助函数)()21()(xfxfxF则问题转化为证明F(x)在[0,1/2]上必有一个零点.讨论:,0)0(F若,0则);0()210(ff,0)21(F若,21则);21()2121(ff),0()21()0(ffF),21()1()21(ffF0)21()0(FF若则由连续函数的介值定理可知：0)(),21,0(F使必有综上，命题得证.一、用导数定义求导1.导数定义的等价形式xxfxxfxfx)()(lim)(0000hxfhxfh)()(lim00000)()(lim0xxxfxfxx点导数xxfxxfxfx)()(lim)(0导函数hxfhxfh)()(lim0xtxftfxt)()(lim例1.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf处有但在0xxxxxy001sin)0(x1sin.11,0之间振荡而极限不存在和在时当xyx.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx【例2】).0()1(),100()1()(ffxxxxf和求设【解Ⅰ】—用导数定义1)1()(lim)1(1xfxffx)100()2(lim1xxxx!99【解Ⅱ】—用求导法则先求导函数])100()1([)(xxxxf])100()2()[1()]100()2([)1(xxxxxxxx])100()2()[1()100()2(xxxxxxx故!99)99()2)(1(1)1(f同理可求f(0)(自己练习)【分析】函数是连乘积,但f(0)=0,f(1)=0,故不能用对数求导法.【例3】已知可导函数f(x)表示的曲线在xxfx1)(lim20【分析】切线斜率点导数导数定义极限【解】]1)([1)(lim1)(lim020xfxxfxxfxx]1)0([21]1)0([)0(fff]1)([0)0()(lim0xfxfxfx1)11(21点(0,1)处的切线的斜率为1/2，求二、用求导法则求导【常数和基本初等函数的导数公式】xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc二、用求导法则求导1.四则运算的求导法则2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则4.隐函数求导法则对数求导法（注意适用类型）5.参数方程确定的函数求导法【复习】幂指函数的导数求法方法Ⅰ：化为)()(xvxuy)(ln)(xuxvey复合函数链导公式法方法Ⅱ：对数求导法.并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu1和、差、积、商的求导法则【定理】).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxudydxdxdyyfxfIxfyyfIyfxxy1.)(1])([,)(,0)()(11或且有内也可导对应区间在那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数2反函数的求导法则【定理】【结论】反函数的导数等于直接函数导数的倒数.3复合函数的求导法则对于ln，tgx3，xe212sinxx等复合函数，存在两个问题：(1)它们是否可导？(2)若可导，如何求导？以下法则回答了这两个问题.dxdududydxdyxgufdxdyxxgfyxguufyxxguxx).()(,)]([,)()(,)(0000000或且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数【定理】即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)【隐函数求导法则】直接对方程两边求导;【对数求导法】【参数方程求导】适用于幂指函数及某些用连乘、连除、乘方、开方表示的函数求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式转化极坐标方程求导【例4】.)2(21ln32的导数求函数xxxy【解】),2ln(31)1ln(212xxy)2(31211212xxxy)2(3112xxx【例5】.1sin的导数求函数xey【解】)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11sin2xexx【例6】求导数：【解】)1(ln2xxeey112xxeey【分析】复合函数链导公式法)1(2xxee)122(22xxxeee112xxee【例7】求导数：xaaaxaaaxy【解】1aaaxay1lnaxxaaaaaaaaxaxlnlnxaaaxxaaaaaaaxaaxa211lnln【关键】搞清每一部分的复合结构——用相应的导数公式【例8】.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程【解】,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx时由原方程知000yxyxxexyedxdy.1【注意】求隐函数的导数，结果中允许含有因变量y.【例9】【解】]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设【例11】设)(,)()()(tftftftytfx