导数定义及公式

导数：1.若f(x)=c,则（x）=2.若f(x)=（n），则（x）=3.若f(x)=,则（x）=4.若f(x)=,则（x）=5.若f(x)=,则（x）=6.若f(x)=,则（x）=7.若f(x)=,则（x）=8.若f(x)=,则（x）=【()()】=10.【()()】=【()()】=12.【()】=13.()()，则y=f（g（x））；==（）=##导数：一般地，函数y=f（x）在x=处的瞬时变化率是=()(),称函数y=f（x）在x=处的导数，记作：（x）或|。即（）==()()。##函数y=f（x）在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（，（））处的切线斜率，也就是说曲线y=f（x）在点P（，（））处的切线斜率是（）。相应地，过p点的切线方程为：y-f（）=（）（x-）##导函数：如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，就说函数f（x）在开区间（a，b）内可导。若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f（x）在开区间（a，b）内的导函数（简称导数）记作（x）或或。即（x）===()()一、函数的单调性一般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果（x）０，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果（x）０那么函数()在这个区间内单调递减。１.如果（x）０，则f（x）严格增函数；如果（x）０，则f（x）严格减函数。２.如果在（a，b）内恒有（x）＝０，那么f（x）在（a，b）内是常数。３.（x）０是f（x）在此区间上为增函数的充分而不必要条件。求函数单调区间的步骤：１.确定y=f（x）的定义域；２.求导数（x），求出（x）＝０的根；３.函数的无定义点和（x）＝０的根将f（x）的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间。注意：Ａ.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用“Ｕ”连接，只能用逗号或“和”字隔开。Ｂ.求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。二、函数的极值：１.定义，设函数f（x）在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有f（x）（），则称（）是函数f（x）的一个极大值；如果对附近的所有点，都有f（x）（），则称（）是函数f（x）的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。２.判断（）是极大值或极小值的方法：第一步，确定函数的定义域，求导数（x）；第二步，求方程（x）＝０的根；第三步，检查（x）在（x）＝０的根左右两侧的值的符号；１.如果“左正右负”，那么f（x）在这个根处取到极大值；２.如果“左负右正”，那么f（x）在这个根处取到极小值；３.如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。在此步聚中，最好利用方程（x）＝０的根，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。※函数在极值点的导数为０，但导数为０的点不一定是极值点，如函数f（x）＝，点x＝０就不是极值点，但（０）＝０；※函数的极大值不一定大于极小值；※在给定的一个区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点。三函数的最值：设函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的函数，y=f（x）在区间（a，b）内有导数，求y=f（x）在[a，b]上的最大值与最小值，其步骤为：先求函数y=f（x）在（a，b）内的极值；再将函数y=f（x）的各极值与端点的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。如果在区间[a，b]上，函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，则函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或端点处取得。※提示：１.若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，则f（a）为最小值，f（b）为最大值；若若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，则f（a）为最大值，f（b）为最小值。２.图象连续不断的函数在开区间（a，b）上不一定有最大（小）值，如果图象连续不断的函数在开区间（a，b）上只有一个极值，则该极值就是最值。３.函数的极值不一定是最值，求函数的最值与函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为０的点讨论，其是极大值还是极小值，只需将导数为０的点的函数和端点函数值时行比较。在解决实际生活中优化问题注意事项：1必须考虑是否符合实际意义２只有一个点使（x）＝０的情形，如果在点有最大（小）值，不与端点比较也能知道是最大（小）值。３不仅注意将问题涉及变量关系用函数关系表示出来，而且还应确定函数关系式中自变量的定义区间。四．定积分及应用定积分定义：若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续用分点a=b,将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[，]上任取一点（i=1，2，3，），作和式∑（）=∑（），当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫函数y=f（x）在区间[a，b]上定积分，记作∫（）。即∫（）＝∑（）其中f（x）叫做被积函数，a做积分下限，b做积分上限。定积分∫（）不是一个表达式，是一个常数。定积分几何意义：从几何上看，若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续且恒有f（x）０，那么定积分∫（）表示直线x=a,x=b（ab），y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积；定积分性质：∫（）=k∫（）(k为常数)∫()(ｘ)=∫（）∫（）∫（）=∫（）以上是线性性质，下面是对区间可加性∫（）＝∫（）+∫（）（a）微积分基本定理－－牛顿－莱布尼兹公式一般地，如果f（x）在区间[a，b]上的连续函数，并且Ｆ（x）＝f（x），那么∫（）＝Ｆ（b）－Ｆ（a）。定积分的简单应用：一、求平面图形面积的应用１.定积分与平面图形面积的关系通过定积分运算可以发现，定积分的值可以取正也可以取负，也可为０.（１）当对应的曲边梯形位于Ｘ轴上方，定积分值取正值，且等于曲边梯形的面积；（２）当对应的曲边梯形位于Ｘ轴下方，定积分值取负值，且等于曲边梯形面积的相反数；（３）当位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积等于位于Ｘ轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为０，且等于位于Ｘ轴上方的曲边梯形的面积减去位于Ｘ轴下方的曲边梯形的面积。２.利用定积分求平面图形面积的步骤（１）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（２）借助图形确定被积分函数，求出交点坐标，确定积分上、下限；（３）将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（４）计算并求出结果二、定积分在物理学中的应用１.求变速直线运动的路程s=∫（）２.求变力F所做的功w=∫（）