2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第三章-第4讲-函数-y=Asin(ωx+φ)的图

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象；了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．xωx＋φ0______π______2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A01．五点法画y＝Asin(ωx＋φ)用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表：022222.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤A3．振幅、周期、频率、相位当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A叫做______，T＝叫做______，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．振幅周期1．y＝2sin24x的振幅、频率和初相分别为()A．2，1，－B．2，1，－C．2，1，－D．2，12π，－A2．(2013年四川泸州一模)为了得到函数y＝sin2x的图象，可将函数y＝sin26x的图象()A．向左平移12个单位长度B.向左平移6个单位长度C．向右平移6个单位长度D.向右平移12个单位长度3．函数y＝sin522x的图象的一条对称轴为()A．x＝－2B．x＝－4C．x＝8D．x＝54πDA的部分图象如图3-4-1，则ω，φ的值分别是(图3-4-14.(2013年四川)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)0,22A．2，－3B．2，－6C．4，－6D．4，3)A考点1三角函数的图象及变换例1：(2014年辽宁)将函数y＝3sin23x的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间7,1212上单调递减B．在区间7,1212上单调递增C．在区间,63上单调递减D．在区间,63上单调递增解析：将函数y＝3sin23x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝3sin223x＝3sin223x，令2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，解得kπ＋12≤x≤kπ＋12，故递增区间为,1212kk(k∈Z)，当k＝0时，得递增区间为π12，7π12.故选B.答案：B【规律方法】图象变换的两种方法的区别：由y＝sinx的图象,利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．【互动探究】1．(2013年山东)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4解析：令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，则fx＋π8＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.∵fx＋π8为偶函数，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∴φ＝kπ＋π4，k∈Z.∴当k＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.B2．(2014年安徽)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.3π4C解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，平移后图象关于y轴对称，必须得到2cos2x或－2cos2x，将A，B，C选项代入，得选C.因为向右平移3π8个单位长度，得2sin2x－3π8＋π4＝2sin2x－π2＝－2cos2x.考点2“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例2：已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解：(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.xX0π2πy＝sinX010－10020－20列表，并描点画出图象如图D9.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.－π6π12π37π125π6π23π2y＝2sin2x＋π3图D9(3)方法一：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象，再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象，最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．方法二：先把y＝sinx的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再把y＝sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π3的图象，最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．【规律方法】(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法.(2)用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象,关键是点的选取,通常令ωx+φ分别等于0,2,π,2,2π,求出对应的x,y,即可得到所画图象上关键点的坐标.x01234y101－1－2【互动探究】经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是__________．3.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)其中A0，0ω2，－π2φπ2的图象，列出的部分数据如下表：解析：∵(0,1)和(2,1)关于直线x＝1对称，故x＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误．把(1，A)代入，得ω＋φ＝π2，(2,1)，(3，－1)关于52，0对称，从而周期T＝4×52－1＝6.根据周期公式T＝2πω＝6，∴ω＝π3，φ＝π6.函数f(x)＝Asinπ3x＋π6.把函数图象上点(0,1)代入，可得Asinπ6＝1，∴A＝2.∴解析式为y＝2sinπ3x＋π6.答案：y＝2sinπ3x＋π6考点3求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例3：已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)上的一个最高点的坐标为π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点32π，0，若φ∈－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．解：(1)依题意，A＝2，T＝4×3π2－π2＝4π，∵T＝2π|ω|＝4π，ω0，∴ω＝12.∴y＝2sin12x＋φ.又曲线上的最高点为π2，2，∴sin12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z.∵－π2φπ2，∴φ＝π4.∴y＝2sin12x＋π4.(2)令2kπ－π2≤12x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，∴4kπ－3π2≤x≤4kπ＋π2，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－3π2，4kπ＋π2(k∈Z)．令2kπ＋π2≤12x＋π4≤32π＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋π2≤x≤4kπ＋5π2，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为4kπ＋π2，4kπ＋5π2(k∈Z)．即令【规律方法】根据y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑：①A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=2;②ω的确定：结合图象,先求出周期T,然后由T=2(ω0)来确定ω；③φ的确定：利用“代点法”求φ的值时,应尽量选择图象的最高点或最低点，选择函数值为零的点要尽量由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标0,xx来确定φ.最高点—最低点【互动探究】)4．下列函数中，图象的一部分如图3-4-2所示的是(图3-4-2A．y＝sin2x＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝cos2x＋π3D．y＝cos2x－π6答案：D解析：将－π6，0代入选项逐一验证，可得，A，B，C均不符合题意．对D项，y＝cos－π3－π6＝cos－π2＝cosπ2＝0符合题意．故选D.●难点突破●⊙函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的应用例题：函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω0)在一个周期内的图象如图3­4­3，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．图3-4-3解：(1)由已知，得f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3＝6×1＋cosωx2＋3sinωx－3＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3(ω0)．∴正三角形ABC的高为23，则BC＝4.∴函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，得ω＝π4.∴函数f(x)的值域为[－23，23]．(2)∵f(x0)＝835，由(1)，有f(x0)＝23sinπx04＋π3＝835，即sinπx04＋π3＝45.由x0∈－103，23，得πx04＋π3∈－π2，π2.∴cosπx04＋π3＝1－452＝35.故f(x0＋1)＝23sinπx04＋π4＋π3＝23sinπx04＋π3＋π4＝23sinπx04＋π3cosπ4＋cosπx04＋π3sinπ4＝2345×22＋35×22＝765.【规律方法】本题主要考查三角函数的图象与性质同三角函数的关系、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、转化等数学思想.【互动探究】5．已知f(x)＝2sin2x－π6－m在x∈0，π2上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．[1,2)解析：f(x)在0，π2上有两个不同零点，即方程f(x)＝0在0，π2上有两个不同实数解，∴y＝2sin2x－π6，x∈0，π2与y＝m有两个不同交点．又2x－π6∈－π6，5π6，∴1≤m2.