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12019届高三数学高考备考《极坐标与参数方程》专题复习建议极坐标与参数方程为高考选考内容之一,主要考查直线与圆的极坐标方程,考查直线、圆、椭圆的参数方程,考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化,考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立,考查参数方程与极坐标方程的直接应用,如极坐标系下两点间距离的求解等,交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等。高考对极坐标与参数方程的题量、考查难度都相对稳定。一道解答题,位于22题,满分10分;考查难度定位中等偏易,是考生容易突破的一道题目。试题分设两问,第一问考查内容多为“互化”,第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中,的几何意义解决问题,内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题.理论上说,本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后,均可用解析几何的相关知识加以解决,但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查。随着新课标的实施,2018年考查了圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识。考查运算求解能力,考查数形结合思想、划归与转化思想等,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算。近5年本部分内容考查情况如下:年份题序考查内容2014年23参数方程与普通方程的互化2015年23直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化2016年23直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化2017年22参数方程与普通方程的互化2018年22圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系一、存在的问题及原因分析(一)对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】直线l的参数方程为()xattybt为参数,l上的点1P对应的参数是1t,则点1P与(,)Pab之间的距离是A.1tB.12tC.12tD.122t【解析】∵l上的点1P对应的参数是1t,则111(,)Patbt,∴22212111()()22PPatabtbtt,故选C.【评析】易错选为A.为什么错?因为所给的直线l的参数方程不是标准式,l上的点1P对应的参数是1t2并没有参数的几何意义.化成标准式2222txatyb,也可以看出答案为C.【例2】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为2,()23xttyt为参数.直线与曲线22:(2)1Cyx交于,AB两点.求||AB的长;【解析】把直线l的参数方程2()23xttyt为参数化为标准的参数方程'232'212tytx('t为参数)代入曲线:C2221,yx整理得010'4'2tt,所以10'',4''2121tttt,所以142''4)''(''2122121ttttttAB.【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清,由点,AB对应的参数分别为12,tt错误得到2121212||||()414ABtttttt.当直线的参数方程非标准式时,其参数并不具有距离的几何意义,只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时,||t才表示距离.一般地,直线btyyatxx00(t表示参数),当122ba时,||t表示点),(yxp到点00()Px,y的距离.【例3】在直角坐标系xOy,直线l的参数方程是1+cos,sin.xtyt(t是参数).在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:4cos,若直线l与曲线C相交于,AB两点,设(1,0)P,且1PAPB,求直线l的倾斜角.【解析】直线l为经过点(1,0)P倾斜角为的直线,由1cossinxtyt代入22(2)4xy,整理得22cos30tt,2(2cos)120,设,AB对应的参数分别为12,tt,则122costt,1230tt,所以1t,2t异号,则12|||||||||2cos|1PAPBtt,所以1cos2,又),0[π所以直线l倾斜角3π或32π.【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t的几何意义认识不到位所致,||t表示距离,t是包含符号的,由于本题中,,AB在P点的两侧,12t,t异号,故12|||||||||2cos|1PAPBtt而不是22121212||||||||()44cos121PAPBtttttt.此外,本题的参数方程中含两个字母参量,哪个是参数在审题时也是值得特别注意的.(二)忽略参数的取值范围导致“互化”不等价3【例4】将曲线1C的参数方程1sin22sincosxy(为参数)化为普通方程.【解析】把cossiny两边平方得xy212sin1)cos(sin22,所以xy212,∵R,,212sin2121∴.2121x∴所求曲线1C的普通方程为xy212,.2121x【评析】本题易错点主要在于忽视三角函数sinyx的有界性,即R,,212sin2121所以.2121x在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要把其中的参数消去,还要注意yx,的取值范围.【例5】(2014年广东省深圳市高考模拟题)若直线bxy与曲线sincosyx(为参数,且)22有两个不同的交点,则实数b的取值范围是__________.【解析】曲线sincosyx(为参数,且)22表示的是以原点为圆心,以1为半径的右半圆,如图,直线bxy与曲线有两个不同的交点,直线应介于两直线21,ll之间,则(2,1]b.【评析】本题易错点主要在于忽视所给的范围,以为sincosyx(为参数,且)22表示的图形是圆。其实本题中参数方程表示的是以原点为圆心1为半径的非左半部分的圆的一部分,有了这个认识之后,便不容易出错。(三)对极径的意义理解不到位,不能灵活使用极径解决问题【例6】(2017全国卷II22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C的极坐标方程为4cos.(Ⅰ)M为曲线1C上的动点,点P在线段OM上,且满足6OMOP,求点P的轨迹2C的直角坐标方程;(Ⅱ)设点A的极坐标为)3,2(π,点B在曲线2C上,求OAB面积的最大值.【解析】(Ⅰ)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为11()(0),,则由已知得116即416cos,得2C的极坐标方程为4cos(0),所以2C的直角坐标方程为22(2)4(0)xyx4(Ⅱ)设点B的极坐标为,>0BB,由题设知cos=2,=4BOA,于是OAB面积3223)32sin(2)3sin(cos4sin21ππAOBOASB.因为22ππ,所以323234πππ,所以当12π时,S取得最大值32,所以OAB面积的最大值为32.【评析】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位,其一,不能将极径与OM、OP建立联系,从而无法快速求出P的轨迹方程,其二,不能利用极径的几何意义建立OAB的面积模型进行求解,而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路,结果造成不能顺利建模亦或是建立OAB面积关于直线OB斜率的函数关系,致使解题过程复杂化,计算量加大,最终无法准确求解.此外,在第(Ⅰ)问题目中还隐含着一个条件0,如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件.【例7】在平面直角坐标系中,曲线1C的参数方程为22cos,(2sinxy为参数).(Ⅰ)将1C的方程化为普通方程;(Ⅱ)以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线2C的极坐标方程是)(3Rπ求曲线1C与2C交点的极坐标.【解析】(Ⅰ)曲线1C的参数方程为22cos,(2sinxy为参数)的普通方程为22(2)4xy;(Ⅱ)把cossinxy代入22(2)4xy得曲线1C的极坐标方程为4cos,把3π代入得4cos23,又因为曲线1C和曲线2C的均过原点,.所以曲线1C与2C交点的极坐标为(0,0),(2,).3【评析】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏(0,0)点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中,经常需要在方程两边同乘以或除以,这时需要考虑等价问题:如果曲线0),(不通过极点,那么0),(与0),(不等价;如果曲线0),(通过极点,那么0),(与0),(等价,这是因为0包含在方程(,)0的曲线中.本题由于曲线1C和曲线2C的均过原点,所以交点的极坐标还包含有(0,0).如果本题用直角坐标方程求解也不难,且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题,一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.(四)思维不严谨性,完备性欠缺【例8】在直角坐标系xOy中,直线4:1yxC曲线sincos1:2yxC(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.5(Ⅰ)写出直线1C与2C的极坐标方程;(Ⅱ)若射线)0(:l分别交1C与2C于A,B两点,求OAOB的取值范围.【解析】(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线4:1yxC直线1C的极坐标方程为,4)sin(cos曲线sincos1:2yxC的普通方程为1)1(22yx,曲线2C的极坐标方程为cos2.(Ⅱ)设24),,(),,(21ππBA则,cos2,sincos421],1)42(cos2[41)12sin2(cos41)sin(coscos241||||12OAOB1)42cos(2224,)12(41]1)42cos(2[410OAOB的取值范围是)].12(41,0(【评析】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘,求出OAOB],1)42(cos2[41)12sin2(cos41)sin(coscos241||||12OAOB后直接得OAOB的取值范围是]4221,4221[忽略了射线)0(:l分别交1C与2C于相交,隐含着24ππ这一条件.【例9】(2018全国卷II22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ(θ为参数),直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα(t为参数).(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解析】(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为221416xy.当cos0时,l的直角坐标方程为tan2tanyx,当cos0时,l的直角坐标方程为1x.(Ⅱ)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为1t,2t,则120tt.6又由①得1224(2cossin)13costt,故2cossin0,于是直线l的斜率tan2k.【评析】(Ⅰ)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程,根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程,此时要注意分0cos与
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