第2章-偏微分方程的数学性质对CFD的影响

第2章偏微分方程的数学性质对CFD的影响3偏微分方程的数学性质对CFD的影响3.1引言3.2拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程的分类拟线性偏微分方程：方程中最高阶导数单独出现，没有出现最高阶导数的乘积，最高阶导数所乘的系数也都是未知函数本身的函数。拟线性偏微分方程的分类考虑如下的拟线性方程组：u,v是未知函数，是x,y的连续函数所有系数可以是x,y,u,v的函数拟线性偏微分方程的分类u,v是未知函数，是x,y的连续函数u,v的全微分为拟线性偏微分方程的分类于是有拟线性偏微分方程的分类写成矩阵形式为拟线性偏微分方程的分类系数矩阵：拟线性偏微分方程的分类令：根据克莱默法则(Cramer’srule)，有拟线性偏微分方程的分类沿ab，拟线性偏微分方程的分类换一个方向，沿cd所得u/x的值应与沿ab所得u/x值相同。拟线性偏微分方程的分类沿ef,=0,则沿此方向，无法确定u/x拟线性偏微分方程的分类同理沿ef,=0,则沿此方向，无法确定u/y,v/x,v/y拟线性偏微分方程的分类定义曲线ef为过p点的特征曲线或特征线。拟线性偏微分方程的分类沿ef,=0拟线性偏微分方程的分类有拟线性偏微分方程的分类有拟线性偏微分方程的分类令则拟线性偏微分方程的分类则上式给出了平面上某点的特征线的方向拟线性偏微分方程的分类令如果D0，则平面上每个点都有两条不同的实特征线。上述方程组称为双曲型方程组。如果D=0，则上述方程组称为抛物型方程组。如果D0，则上述方程组称为椭圆型方程组。拟线性偏微分方程的分类在解析几何里，二次曲线的一般方程为拟线性偏微分方程的分类沿特征线：拟线性偏微分方程的分类沿特征线：拟线性偏微分方程的分类沿特征线：从上述方程所得到的关于未知函数u,v的方程被称为相容性方程。拟线性偏微分方程的分类沿特征线：相容性方程沿特征线成立，为常微分方程。拟线性偏微分方程的分类特征线法：在xy平面上构造特征线，并沿特征线求解相容性方程，从而求解原方程组。拟线性偏微分方程的分类特征线法要求在xy平面上任意点至少需要两个特征方向，因此，特征线法只对求解双曲型偏微分方程有效。拟线性偏微分方程的分类由于无粘超声速流动的控制方程组是双曲型的，因此，特征线法被广泛用于求解这类问题。3.3确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法为简单起见，设f1=0,f2=0，则方程变为确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法定义列向量：方程组可写为：或：确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法方程组可写为：或：确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法用[N]的特征值就可以确定方程组的类型：如果特征值均为实数，则方程组是双曲型的；如果特征值均为复数，则方程组是椭圆型的；确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法我们用实际的流体力学方程组来说明特征值法。考虑可压缩无粘气体二维无旋非定常流动。假设流场源于对自由来流的小扰动（比如，以小迎角绕过细长体的流动），并且来流马赫数是亚声速或者超声速（但不是跨声速或者高超声速）的，则连续性方程、动量方程和能量方程这一组控制方程就可以简化成方程组确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法其中，和是相对来流速度的扰动速度uVuvv来流马赫数可以是亚声速的，也可以是超声速的。确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法问题：如何对上述方程组进行分类？确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法问题：如何对上述方程组进行分类？下面先采用上一小节所介绍的克莱默法则(Cramer’sRule)来对上述方程组进行分类。确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法类比上述两个方程组，有确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法有确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法有确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法对于超声速（）的情形，通过每个点都有两个实特征方向，一个斜率为，另一个斜率为确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法因此，当时，上述方程组是双曲型的。反之，如果，则特征方向是虚的，方程组是椭圆形的。确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法问题：如何对上述方程组进行分类？下面再采用特征值法来对上述方程组进行分类。确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法将上述方程组写成矩阵形式：令：或确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法为求出，先用的代数余子式来代替中的元素，得其转置矩阵还是确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法的行列式为，所以确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法所以确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法下面求矩阵[N]的特征值确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法令，其中是单位矩阵，则有或确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法对比知：[N]的特征值就是特征线的斜率。与确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法因此，当时，[N]的特征值均为实数，方程组是双曲型的。如果，则[N]的特征值均为虚数，于是方程组是椭圆形的。上述方法就是采用特征值法来判别偏微分方程的类型。确定偏微分方程类型的一般方法－特征值法有些方程组的特征值可能既有实数又有虚数，这种情况下，方程组既不是双曲型的也不是椭圆型的，它们的数学性质表现出双曲型－椭圆型的混合特性。3.4不同类型偏微分方程的一般性质不同类型偏微分方程的一般性质不同类型的方程具有不同的数学特性，它也反映出流场具有不同的物理特性。这也就意味着，求解不同类型的方程，必须采用不同的数值方法。3.4.1双曲型方程双曲型方程对于双曲型方程，有两条实特征曲线通过P点，分别记为左行特征线和右行特征线。与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）双曲型方程区域Ⅰ：P点的影响区域。P点的信息只能影响两条特征线所夹的区域Ⅰ.与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）双曲型方程区域Ⅲ：P点的依赖区域。P点的信息只受区域Ⅲ影响.与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）双曲型方程ab段：P点所依赖的y轴上的初值。与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）双曲型方程区域Ⅱ：受y轴上c点影响。但c点不能影响到P点。与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）双曲型方程由双曲型方程决定的流场可以“推进”求解。计算从给定的初始条件（如y轴）开始，沿着x轴方向一步步推进，逐步求解流场。与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）3.4.1.1定常无粘超声速流动(双曲型方程)定常无粘超声速流动(双曲型方程)对于欧拉方程，如果当地马赫数是超声速时，不论方程写成守恒形式还是非守恒形式，定常流动的方程都属于双曲型。特征线法的初值线（二维定常流）主流方向为x方向，在物体上游的ab线作为初值线，从初值线开始沿着x方向逐步向下游推进，数值求解控制方程。特征线法的初值线（二维定常流）定常无粘超声速流动(双曲型方程)对于三维定常超声速无粘流动，特征曲线将变成特征曲面。与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）定常无粘超声速流动(双曲型方程)取流动的方向作为X方向。与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）定常无粘超声速流动(双曲型方程)过P点向前的特征面所包含的阴影区域为P点的影响区域。与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）定常无粘超声速流动(双曲型方程)过P点向后的特征面在yz平面截取的区域（用交叉线表示）内的初值才能对P点有影响。与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）定常无粘超声速流动(双曲型方程)可以从YZ平面内给定的初值开始，沿着X方向推进求解。与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）定常无粘超声速流动(双曲型方程)3.4.1.2非定常无粘流动(双曲型方程)非定常无粘流动(双曲型方程)对于非定常流动，时间导数不等于零，不论流动是亚声速的还是超声速的，控制方程都是双曲型方程。与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）非定常流动对时间是双曲型的，无论空间是一维、二维还是三维的，推进的方向总是时间方向。与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)如右图所示的一维非定常流动，受P点影响的区域是通过P点向前的两条特征线之间的阴影区域。与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)如右图所示的一维非定常流动，X轴(t=0)是初值线，P点的解仅依赖于初值线X轴上的区间ab.与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)如右图所示的二维非定常流动，受P点影响的区域是通过P点向前的特征面所围的阴影区域。y与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)如右图所示的二维非定常流动，P点的解仅依赖于向后的特征面在xy面上所截的阴影区域上的初始值.y与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)从xy平面内已知的初始值开始，流场可以沿着时间向前推进求解.y与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)在CFD中，非定常时间推进法最大的用途是通过长时间的推进最终得到定常流动的解，前提是边界条件不随时间变化。y与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)时间推进在这里只是得到定常流场的一种方法，最终的结果是定常流场。y与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）非定常无粘流动(双曲型方程)3.4.2抛物型方程抛物型方程对于抛物型方程，只有一个特征方向通过P点，右图中以铅垂线表示。与二维抛物型方程的解有关的区域和边界抛物型方程初始条件沿ac给定，沿着曲线ab和cd，边界条件是已知的。与二维抛物型方程的解有关的区域和边界抛物型方程P点的信息影响到铅垂特征线右侧包含在两条边界之间的整个阴影区域。与二维抛物型方程的解有关的区域和边界抛物型方程抛物型方程与双曲型方程一样，也适合于推进解。从初值线ac开始，介于边界ab与cd之间的解可以通过沿着x正向推进求出。与二维抛物型方程的解有关的区域和边界抛物型方程对于三维抛物型方程，给定了边界条件后，同样可以从初值区abcd开始，沿着x正向推进求解。与三维抛物型方程的解有关的区域和边界3.4.2.1定常边界层流动(抛物型方程)定常边界层流动(抛物型方程)边界层流动在边界层里，N-S方程可以简化为一组近似方程，称为边界层方程。边界层流动边界层方程是抛物型的，可以用推进的方法求解。定常边界层流动(抛物型方程)边界层流动从物体头部的初值开始，边界层方程可以沿着s方向向下游推进求解，这里s是指从物体前缘开始的物面距离。定常边界层流动(抛物型方程)3.4.2.2“抛物化”粘性流动(抛物型方程)“抛物化”粘性流动(抛物型方程)粘性激波层上图描述了超声速流中的尖头物体。如果雷诺数足够低，粘性效应就会影响到远离物面的流场。粘性激波层如果雷诺数足够低，激波和物面之间的流场可能都是粘性的，边界层的解不再适用。“抛物化”粘性流动(抛物型方程)粘性激波层如果沿流向没有局部的逆向分离流动，包含流向导数的粘性项（如）小到可以忽略，而且流动是定常的，则导出的方程称为抛物化N-S(PNS)方程。“抛物化”粘性流动(抛物型方程)粘性激波层PNS方程的优点在于：（1）比N-S方程更简单，包含的项更少。（2）可以采用向下游推进的方法求解。“抛物化”粘性流动(抛物型方程)粘性激波层PNS方程的缺点在于：不能计算沿流向存在分离区的粘性流动。因为涉及流向导数的粘性项被忽略了，而这些导数项反映了流动中粘性效应向上游反馈信息的物理机制。“抛物化”粘性流动(抛物型方程)3.4.2.3非定常热传导(抛物型方程)非定常热传导(抛物型方程)热传导方程：是抛物型方程。其中，为热扩散率，其物理意义是流体吸收热流量的能力。两个半无限长壁面之间有传热流体，初始时，壁面和流体的温度都为T1非定常热传导(抛物型方程)假设t=0时刻，右边壁面温度突然增加到T2，流体温度发生非定常变化，其瞬时温度分布由热传导方程确定。非定常热传导(抛物型方程)右图显示了不同时刻温度在x方向上的分布。非定常热传导(抛物型方程)3.4.3椭圆型