2-4-介质中的高斯定律-电位移矢量

2.4介质中的高斯定律电位移矢量一、极化与极化强度矢量1）介质极化有关概念介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统电偶极子和电偶极矩：介质分子的分类：无极分子和有极分子。在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观上不显出电特性介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致，宏观上出现电偶极矩电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点电荷所组成的电荷系统。电偶极矩：表示电偶极子。ppqllqq用极化强度矢量表示电介质被极化的程度。P式中：ip表示i个分子极矩。物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外加电场成正比关系，即0:eePE媒质极化系数2）极化强度矢量二、极化电荷（束缚电荷）媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自由运动，故也称束缚电荷。体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表面上出现的极化电荷称为面极化电荷。VPPiV0limdSpl介质被极化后，分子可视作一个电偶极子设分子的电偶极矩p=ql。取如图所示体积元，其高度等于分子极矩长度。l1）体极化电荷则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元dS在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为穿出整个S面的电荷量为：由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为SdPSdpnSdlnqdQSSSdPdQQSpSdPQqVVdPPp2）面极化电荷在介质表面上，极化电荷面密度为式中：为媒质极化强度为媒质表面外法向单位矢量Pn12SPnnPP介质1介质2n讨论：若分界面两边均为媒质，则SdPdSpSSspspnPsp)(21PPnsp真空、金属0P（1）介质2是电介质而介质1是真空:01nPnspP2（2）介质2是电介质而介质1是金属:01nPnspP2对介质极化问题的讨论1）极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷2）由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；3）P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上4）均匀介质内部一般不存在极化电荷§2-4-2有电介质时的高斯定理电位移同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场SSqq内)(1d00SE总电场束缚电荷自由电荷高斯考虑关系把静电场Gauss定理变换一下SSqSdP内'SSSqqSdE内内'11000SSSdPq内001SSSqSdPSdE内0001SSqSdPE内00)(PED0电位移矢量SSqSdD内0S面内包围的自由电荷电位移矢量通量同时描述电场和电介质极化的复合矢量。SSqSdD内0PED0有电介质时的高斯定理如果把真空看作电介质的特例ED00P00qSdESSSqSdD内0有电介质时的高斯定理积分形式SVdVDSdD高斯散度定理有介质高斯定理微分形式DD的Gauss定理：有电介质存在时，通过电介质中任意闭合曲面的电位移通量，等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和，与极化电荷无关公式中不显含P、q’、E’，可以掩盖矛盾，但没有解决原有的困难若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出D，但由于不知道P，仍然无法求出ESSqSdD内0PED0PED0需要补充D和E的关系式，并且需要已知描述介质极化性质的极化率e，对于各向同性线性介质,有EPe0真空中EDr01，有介质的问题总体上说，比较复杂但就各向同性线性介质来说，比较简单。re1相对介电常数（与真空相对）介电常数EEre00)1(一般1,0r0qSdD,ED1º。处处对应，且方向一致与ED0qSdD2º与)qq(1SdEo束自等价!3º以上讨论对任何形状的电介质都成立。2．环路定理束缚电荷q束产生的电场与自由电荷q０产生的电场相同保守力场0ldE说明：电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。与束缚电荷无关。电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由电荷和与束缚电荷。电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值．电位移线与电场线性质不同。++++++++++++++++++++电场线电位移线2-4-3有电介质时的静电场的基本方程积分方程：QSdDS0CldE微分方程：D0E本构方程：EEDr0有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。3º解题一般步骤：由q自自qSdDDDEEPoeEEPnP例题1一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（介电常数为ε），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。解:根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理来。如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知RQ0rPS204rqDrerqD204所以写成矢量式为SDdED,所以离球心r处P点的场强为因rrrerqerq200204424rD0qDErE0SDdrrrerqP1420结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍.同时可求出电极化强度为EP)1(0rrrrerqerq20002044rEE0rrerqE2004RQ0rPS其B点的电荷面密度为nspePBneneBE)(0reRqBE204)(2004Rq00)(s00)(ssp)1(0讨论:1.恒异号。和0ssp2.,0ssp即交界面上极化电荷面密度在数值上一定小于自由电荷面密度.3.交界面上总的电荷面密度为spss0)(100srs0即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的r1这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。0102D电介质金属板2S1Sne例题2平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满介电常数为ε的电介质,电容器两板极上自由电荷面密度为σ01和σ02(σ02=-σ01)。求（1）电介质中的电场，交界面的σ’（2）电容器的电容.SSDd1SDn内Sq0101SneD01neDE01介质左右的极化电荷面密度为:neP'1neE0010neP'2010'1极化电荷面密度与自由电荷密度异号,且绝对值比后者小.解:0100102D电介质金属板2S1Sne(2)电容器的电容UqC0EdUd01Sq010UqC00CrdSdSr0例题：圆心在原点，半径为R的介质球，其极化强度，试求此介质球内束缚电荷密度和球表面束缚面电荷密度。)0(mraPmr解：在球坐标系中，由于极化强度只与r有关，具有球对称性，所以时当RrPp)(122marrrr1)2(mrma时当RrnPpsmrrRaamRzrePO分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。解：在驻极体内：驻极体在表面上：0cosP求半径为a，永久极化强度为的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：0zPPeP例nPsp0PprzeeP0cosrzee半径为a的球形电介质体，其相对介电常数,若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得0PDE在媒质内：023316rQeEr24rQeEr体极化电荷分布:221()0rrPrr面极化电荷分布:2316Qa例SQdSD24reQDrPprspeP在线性均匀媒质中，已知电位移矢量的z分量为，极化强度求：介质中的电场强度和电位移矢量。220/zDnCm292115/xyzPeeenCmDED解：由定义，知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P…014ED例3.5介质中的高斯定律边界条件一、介质静电场基本方程真空中的高斯定律：在介电常数为的介质中，类似地，有：介质中的高斯定律在介质中，静电场仍然为保守场0E＝介质中的环路定律0qSdESqSdES0qSdES0qSdDSD0CldE二、介质的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（为常数）()E2介质中的泊松方程三、静电场的边界条件在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边值关系或边界条件推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式DEE)(E1)的边界条件D在分界面上取一个扁盒，将应用于此盒，并考虑h0，得qSdDSSnDSnDSdDS21SqssnDD)(21snnDD21为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。s120nnDD若媒质为理想媒质，则，满足边界条件0sD对边界条件的讨论D结论一：若边界面上不存在自由电荷，则法向连续。D电位移法向分量的不连续，与分界面的自由面电荷的存在有关电位移法向分量的边界条件用电位可表示为1212|snn界面1211112222nnnnDEDEnn当分界面的自由面电荷不存在，电位移法向分量连续对于各向同性的线性介质，有n221n1EE此式表明：在两种各向同性的线性介质形成的边界上电场强度的法向分量不连续。可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为)(n1n20EES在ρS=0时，电位移法向分量的边界条件用电位可表示为02211nn2)的边界条件E在分界面上作一矩形回路，将用于此回路，且考虑h0，得结论二：在两种媒质分界面上，切向连续。E0CldE021lElEldEClnSl0)()(21lnSElnSE0)()(21EnSEnS21EnEnttEE212211sinsinEE对于各向同性的线性介质2112ttDD电场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，用电位可表示为21在边界上，电位移的切向分量是不连续的。设区域1和区域2内电场线与法向的夹角分别为θ1、θ2，2121tantan分界面处的折射