小波理论发展及其应用-综述-李建华

-27-引言1小波分析（）是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新wavelet的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看，小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学，应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面．本文将介绍小波分析理论的发展历程，产生背景及其在一些方面的应用现状，并从几个方面概述了它比较成功的应用实例，最后展望了小波分析研究的发展趋势．小波分析的产生及其发展历程2从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段[1]：第一阶段：小波分析思想的萌芽及孤立应用时期，主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的应用．其思想起源可以追溯到本世纪初，年1910AlfredHaar利用伸缩平移思想构造了第一个规范正交小波基，即Haar系．年，1938Littlewood-Paley提出了按二进制频率成分分组的理论，这便成为多尺度分析的思想雏形[2]．年代是小波70分析发展的关键时期，Calderon表示定理和Hardy空间的原子分解及无条件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的准备．这个时期最具代表性的工作是，法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossman第一次把“小波”用来分析地震数据，并提出了小波分析的概念．计算机视觉专家D.Marr在他的“零交差”理论中使用了可按“尺度大小”变化的滤波器算子及现在称为“墨西哥帽”的小波也是这一时期有名的工作之一．当时不同领域的专家，学者，工程师独立地构造自己需要的小波，但他们的研究领域却广泛分布于科学技术研究的许多方面，这也预示了小波分析理论研究和应用热潮的到来．第二阶段：国际性研究热潮和统一构造时期．真正的小波热潮开始于年，1986Y.Meyer在怀疑小波基的存在性时成功地构造了第一个真正的小波基[3]．之后，P.Lemarie和G.Battle也分别独立地构造具有指数衰减的光滑小波，其伸缩平移产生的函数系构成L2(R的标准正交基．再后来，)S.Mallat和Y.Meyer提出了多分辨分析（MRA）理论[4]，统一了在此之前提出的各种具体的小波构造方法．同时，S.Mallat还在多分辨分析的基础上，给出了离散小波的数值算法，即Mallat塔式算法[5]值得一提的是.Daubechies从离散滤波器迭代方法出发构造出具有有限支撑的正交小波基和对称的双正交小波，为以后正交小波的构造设定了框架[6]．C.K.chui和王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有良好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造方法[7]．年月国际性综合杂志19923IEEE信息论汇刊发表小波分析及其应用专刊，较全面展现了当时小波分析理论和应用的发展情况．李建华1李万社21.7340002.710062摘要：小波分析是傅立叶分析的继承和发展，它具有广泛的应用价值．文章介绍了小波分析产生的背景，发展历程及其在应用领域的现状，并从几个方面概述了它比较成功的应用，最后展望了该理论进一步的发展趋势．关键词：小波变换；变换；傅立叶变换；信号消噪；数据压缩Gabor中图分类号：文献标识码：文章编号：－（）－－O174.83A16720520200602002705———————————————收稿日期：2005-05-20基金项目：国家自然科学基金资助项目（编号：）．60272058作者简介：李建华（—），女，四川重庆人，河西学院数学系讲师，陕西师范大学数学与信息科学学院在读研究生，1973研究方向：智能信号处理．第卷第期（）河西学院学报（）2222006Vol.22No.22006-28-第三阶段：全面应用时期．从年开始，小波分析方法进入全面应用阶段．年，一份专门刊载小波理论和应19921993用发展的国际刊物“AppliedandComputationalHarmonicAnalysis”在美国正式创刊，标志着小波分析理论研究进入到新的阶段．在前一阶段的基础上，尤其是S.Mallat塔式算法的简便可行，使小波分析迅速波及科学研究和工程技术应用的几乎所有领域．时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析相关的论文，各个学科领域的地区性和国际性学术会议和国际会议都有涉及小波分析的各种类型的论文、报告．纵观小波的发展历史，其理论和应用研究的发展是交织在一起相互促进的．年出现了多小波理论，年，19911994G.Strang和V.Strela等人基于重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架n[8]，掀起了小波分析理论研究的新热潮．小波分析理论的另一个重要进展是V.Wickerhauser和R.Coifman的小波包概念[9]，提出了一种更精细的分解方法．年又提出了1993算法简单且具有良好的相位定位能力的谐波小波．Sweldens在年系统地提出通过矩阵的提升格式来研究完全重构滤1995波器从而建立了称之为第二带小波变换的框架体系,[10].Donoho等人在年也提出了脊波（1999ridgelet）与曲波（curvelet）理论．目前，这些理论也已经成功地应用于数学及信息处理的各个领域．一个不容忽视的方面是小波分析在理论数学领域也取得了巨大的进展．近十几年来，由于算子代数理论和空间理论的许多有用工具被应用于小波理论，特别是小波分析中的框架，从而获得许多重要结论[11]，也使得小波理论研究更上了一个层次．小波理论产生的背景3自年1882Fourier发表热传导解析理论以来，经过一个多世纪的不断完善和发展，以傅立叶级数和傅立叶积分理论为主要内容的调和分析已在数学，物理学以及工程实际中得到了广泛应用．若f(t∈)L2(R，则有：)(1)其中：(2)称为f(t的傅立叶变换（)FT）．傅立叶分析就是通过完全刻画f(t的性质．分析是一种频谱分析，它能揭示信号)Fourierf(t的频谱结构，且)级数在计算方面也有特别的吸引力．Fourier为了在数值上实现，年美国工程师提出了计算量为FT1965O(NlgN的快速变换（）．正是有了，)FourierFFTFFT分析才真正成为人们认识自然改造自然的流行工具．但事实上，变换也存在着不可避免的缺陷：FourierFourier（）分析擅长处理线性问题，对非线性问题无能为力．aFourier（）不具备时频同时局部化的特性．由（）式可知要想获得信号bFT2:f(t的频率特征，必须确切知道)f(t在整个)时域上的信息，且（）式没有反映出随时间变化的频率．而我们关心的是信号在任意短暂时间间隔内的频率变化情况，2如：地震信号处理中关心的是什么位置出现什么样的反射波．（）在cL2以外空间，变换系数不能刻画出f(t所在的空间．)在充分剖析的不足之后，年，提出了加窗变换（），即变换：设FT1946GaborFourierWFTGaborf(t∈)L2(R，)则f(t的变换定义为：)Gabor(3)式中g(t称为窗函数．（)Gw,τ反映)f(t在)t＝τ附近的频谱特征，而且窗口位置随参数τ而变（平移），可达到对研究信号不同位置局部性的要求，在一定程度上弥补了变换的缺陷．但是，由于变换的时—频窗的大小固定，且无法FourierGabor满足正交性，而在实际中我们要求高频信号的分辨率要比低频信号的高，因此，变换不能敏感反映信号的突变．小Gabor波分析正是为了克服变换，变换的这些不足而提出来的．FourierGabor若函数满足容许性条件：，则称为一个母小波．我们把由伸缩平移得到的一组函数：称为小波函数．设信号f(t∈)L2(R，其连续小波变换（)CWT）定义为：(4)李建华，李万社：小波理论发展及其应用（综述）ˆ()()iwtftfwedw+∞−∞=∫1ˆ()()2iwtfwftedtπ+∞−−∞=∫ˆ()fw(,)(),()()()iwtiwtGwftgteftgtedtτττ+∞−−∞=〈−〉=−∫()0tdtψ+∞−∞=∫12,().,,0abtbtaabRaaψψ−−⎛⎞=∈≠⎜⎟⎝⎠1(,)().ftbWabftdtaaψ+∞−∞−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∫2()()tLRψ∈()tψ()tψ-29-当满足：时，则对任意均能重构，即：(5)因为CWT的冗余性较大及数值实现的需要，我们常采用离散形式．对某一确定的尺度因子a0，1b0，我们选0择：相应的离散小波为：对和作某些特殊的选择，.则可以构成的标准正交基．所谓小波就是小的波形“小”即具有衰减性“波”是指具有波动性小波分析优于分析在于,,.Fourier:（）在时域频域同时具有良好的局部特性：a在低频具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频正好与之相反，使小波具有对信号的“自适应”能力．这正好符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，特别适合处理瞬变信号．小波能对高频采用逐渐精细的时域取样步长，从而可以聚集到对象的任意细节，被誉为[12]“数学显微镜”．（）基的多样性：b小波分析与分析的实质都是将信号Fourierf(t投影在一组标准正交基上，所不同的是分析对不同)Fourierf(t只用)唯一的基{exp(iwx)|w∈R；而小波基的家族是庞大的，同一}f(t可投影在不同小波基上．事实上，我们在用“巨大的小波)基库”来描述f(t．因为不同的小波基适合于分析不同的信号，从而在不同实际应用场合，一个重要的问题是如何选择适)合具体信号f(t的小波基，以利于信号特征的提取，或利于信号处理任务的实现．)在实际应用中，为了实现小波变换，常采用基于多分辨分析提出的塔式算法．多分辨分析（）也MallatMallatMRA是小波分析的核心内容之一，其系统和过程符合人类视觉和思维方式．算法在小波分析中的地位相当于在经MallatFFT典分析中的地位．对小波基的构造及性质的研究快速小波算法及小波应用研究便构成小波分析研究的主要内容Fourier,.小波理论的应用现状4小波的提出先是取得了应用成果（如在地震数据中的处理等），再形成理论，最后在应用领域全面铺开，因而Morlet具有实用价值．它已经和将要被广泛应用于信号处理、图象处理、量子场论、地震勘探、话音识别与合成、音乐、雷达、成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断和监控、分形以及数字电视等科技领域．随着小波CT应用的广度和深度的进一步拓展，某些方面已取得了传统方法无法达到的效果．下面就小波分析成功应用的几个方面作以介绍，以说明小波分析的实用价值与意义．）小波分析在信号处理中的应用1目前，小波分析已成为信号处理的一种新工具和新方法，且取得了很多成功的应用．如：信号的分解和重构，信号消噪，信号的奇异性检测与分析，模式识别等．小波分析在图像处理，图像特征提取，图像识别等方面的应用最为成功．北京大学，清华大学联合研制的“基于小波分析的指纹处理系统”，特别是北邮推出的“基于微机并行处理的指纹识别系统”更是把小波在指纹方面的应用推向高潮，其理论指标已超过美国的结果．消噪是信号处理中经典问题，传统的FBI消噪方法多采用平均或线性方法，如滤波．随小波理论的日趋完善，利用小波进行信号消噪及重构得到了广泛应Wiener用．其方法有：小波模极大值去噪法，基于小波变换的相关去噪算法，小波阈值去噪方法．最早的阈值去噪方法是提出的方法DonohoVisushrink[13]，后来在此基础上作了许多的改进[14~17]．文献提出了几种改进方案：多项式插值[14]法，软硬阈值折中法和模平方处理方法，都得到了较好的效果．在中克服传统小波消噪方法中局部信息丢失的缺[15]陷，提出了一种基于第二代小波变换的非线性小波变换预处理方法，非常有效地应用在故障信息特征的提取中．把小波技术应用于机械故障的诊断也是一个重要的应用方面．如：文献把小波