三角函数最值与值域专题

1三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用1cos1sin,xx这一有界性求最值。例1：求函数xxysin21sin的值域。解：由xxysin21sin变形为(1)sin21yxy，知1y，则有21sin1yxy，21|sin|||11yxy22221||1(21)(1)1yyyy203y，则此函数的值域是2[,0]3y例2,若函数cosyaxb的最大值是1，最小值是7，求a,b0,1,7430,1,74,3aabababaababab，练习：1，求函数1cos3cosxyx的值域3][1（，，+）2,函数xysin的定义域为[a，b]，值域为]21,1[，则b-a的最大值和最小值之和为bA．34B．2C．38D．4类型二：xbxaycossin型。此类型通常可以可化为22sincos()yaxbxabx求其最值（或值域）。例1：求函数3sin4cos,(0,)2yxxx的最值。解：343sin4cos5sin(),cos,sin55(,),(3,5]2yxxxxy2,求函数)3sin()6sin(xxy（Rx）的最值。解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy，∴函数的最大值为2，最小值为2。练习：1,函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是：（c）A、215B、216C、7D、82,已知函数xxf2sin)(，)62cos()(xxg，直线x＝t（t∈2,0）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值是3．类型三：)0(sinsin2acxbxay型。此类型可化为)0(2acbtaty在区间]1,1[上的最值问题。例1：求函数1sin3cos2xxy（Rx）的最值解：49)23(sin1sin3sin122xxxy∴函数的最大值为49，最小值为4325例2：求函数1sin3cos2xaxy（Ra，Rx）的最大值。解：1sin3cos2xaxy转化为2sin3sin2yxax配方得：2243)23(sin22aaxy①当123a，即332a时，在sinx=1，13maxay②当123a时，即332a时，在sinx=－1，13maxay③当1231a，即332332a时，在ax23sin时，2432maxay综上：2max2331()3323232()4332331()3aayaaaa练习：函数则上的最大值为在区间,1],32[cos2sin)(2xxxf的值是dA．0B．3C．2D．—2类型四：)0(cossinsin2acxxbxay型。例：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时x的值。解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x∵2474x，∴436232x，∴21)62cos(22x∴()fx的最小值为2233，此时247x，()fx无最大值。练习：已知：2123sincos12sinyxxxxR，，求y的最大值及此时x的集合．解：∵2123sincos12sinyxxx1cos2315sin21sin(2)44264xxx，∴当sin(2)16x时，max157244y．此时，2262xk，即6xk．所以y的最大值为74，此时x的集合为{|}6xxkkZ，．类型五：dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例：求函数sincos2xyx的值域。解法1：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，∴22sin()1yxy由32|2||sin()|11yxy22(2)1yy，解得：3333y，故值域是33[,]33解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx,sinx)与定点Q(2,0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33[,]33。练习：求函数3cos2sin2)(f的最值。3cos1sin2y∴y/2即为单位圆上的点(cosθ，sinθ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4],∴y∈[0，3/2]类型六：含有xxxxcossincossin与的最值问题。解此类型最值问题通常令xxtcossin，xxtcossin212，22t，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例：求函数sincossincosyxxxx的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。解法1：设t=sinx+cosx，则)4sin(2xt∴]2,2[t∴)1(21cossin2txx∴1)1(21)1(2122ttty221maxy。解法2：)4sin(22sin21cossincossinxxxxxxy，44xx，2111sin(2)2sincos22sinsin2sin2222ymax122y练习：1,求函数(sin2)(cos2)yxx的最大、最小值．解：原函数可化为：sincos2(sincos)4yxxxx，令sincos(||2)xxtt，则21sincos2txx，∴2211324(2)222tytt．∵2[2,2]t，且函数在[2,2]上为减函数，∴当2t时，即2()4xkkZ时，min9222y；当2t时，即32()4xkkZ时，max9222y．2,函数xxxxxfcossin1cossin)(的值域是dA．12,11,12B．212,212C．122,122D．212,11,212类型七:sin(0)sinbyaxxx型（转化为对号函数）函数最值问题。例：求函数xxxy2sinsin22sin1的最大、最小值xxxxysin11sin111)sin1(sin12∵1－sinx≥0xQPyO4∴y≥0,当sinx=1时Ymin=0,当1－sinx0时,1－sinx+xsin11≥2,ymax=1/2已知34x，则函数xxycos)6sin(2的最大值与最小值的和为35.当04x时,函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值4练习：1,已知(0,)x，求函数23sin13siny的最大值；2,当20x时，函数21cos28cos()sin2xxfxx的最小值为42221cos28cos2sin8cos4()tansin22sincostantan(0,),()[4,)xxxxfxxxxxxxfx类型八：条件最值问题。例1：已知sin2sin2sin322，求22sinsiny的取值范围。解：∵sin2sin2sin322，∴sinsin23sin22∵1sin02∴32sin01sinsin230sinsin2322解得∵21)1(sin21sinsin21sinsin2222y\∵32sin0∴sinα=0时，0miny；32sin时，94maxy∴94sinsin022。2,2sincos,cossin3xyxy则的取值cossin2sincoscossinsin()[1,1]32sincoscossinsin()[1,1]311[,]33xytxyxyxytxyxyxytt设练习：1,已知Sinx+Siny=31，求Siny—cos2x的最大值942,已知22sinsinyx，因式cosx+cosy的最大值为A．2B．0C．1414D．214D522222coscos,sinsin21(sinsin)(coscos)22cos()231414[2,2],[,]222xytxyxyxyxyttt类型九：其他问题例1：函数cossinyxxx在3,22的最小值为'''max3cossinsin0,,223,[,),(,],22yxxxyxxxxxyxyy2,求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：∵定义域为0≤x≤1，可设xx2cos且2022sincos11x，20∴)4sin(2cossinsincos22y∵20，∴4344，∴1)4sin(22即21y∴当44或434，即θ=0或2（此时x=1或x=0），y=1；当2，即4时，（此时21x），2y，当x=0或x=1时，y有最小值1；当21x时，y有最大值2。练习：1,求sincos2yxx，[0,]2x的最大值。33'2''maxsincos22sinsin,[0,]2sin[0,1],2,610666,[0,),0;(,1],066669yxxxxxxtyttytttytyy设2若不等式tantan1xx＞a，x∈(,22)的解集非空，则参数a的取值范围为．令tanx=m，则m∈R，∴原不等式化为a＜1mm即a＜11mm而易知1mm的最小值为1．∴a＜1．