2016年北京市朝阳区高三一模文科数学试卷含答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2016．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集UR，集合3Axx，2Bxx，则()UBAð（）A．2xxB．13xxC．23xxD．23xx2．已知i为虚数单位,则复数2i1i=（）A．1iB．1iC．1iD．1i3．已知非零平面向量ab，“abab”是“ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42B．19C．8D．35．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若3cossin0aBbA，则B（）A．π6B．π3C．2π3D．5π66．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．33B．3+6C．123D．1267．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是（）A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）8．若圆222(1)xyr与曲线(1)1xy的没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．02rB．1102rC．03rD．1302r第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知函数22log(3),0,(),0,xxfxxx则((1))ff．10．已知双曲线221xym过抛物线28yx的焦点，则此双曲线的渐近线方程为．11．已知递增的等差数列}{nanN的首项11a，且1a,2a,4a成等比数列，则数列}{na的通项公式na；48124+4+naaaa_______．12．已知不等式组0,,290yyxxy表示的平面区域为D．若直线1yax与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．13．已知圆22:(3)(5)5Cxy，过圆心C的直线l交圆C于,AB两点，交y轴于点P．若A恰为PB的中点，则直线l的方程为．14．甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()2sincos()3fxxx（0）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求()fx在区间[,]62上的最大值和最小值．16．(本小题满分13分）已知数列na的前n项和22nSnn,nN．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若1nnnba，求数列nb的前n项和nT．17．(本小题满分13分)某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查．调查结果如下表:（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数;（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s与女生阅读名著本数的方差22s的大小（只需写出结论）．（注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为1x2x，……nx的平均数）18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC，90BAC，2ABAC，13AA．,MN分别为BC和1CC的中点，P为侧棱1BB上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM平面11BBCC；（Ⅱ）若P为线段1BB的中点，求证：1//AN平面APM；（Ⅲ）试判断直线1BC与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．19．(本小题共14分）已知椭圆:C22142xy的焦点分别为12,FF．（Ⅰ）求以线段12FF为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点,MN．在x轴上是否存在点Q，使得180PQMPQN？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知函数()exkxfxkx()kR．（Ⅰ）若1,k求曲线()yfx在点0(0)f，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）设0k，若函数()fx在区间3,22上存在极值点，求k的取值范围．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（文史类）2016．3一、选择题：（满分40分）题号12345678答案DACBCBDC二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案212yxnan，2264nn3[0,]4210xy或2110xy1，2，3，4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()2sincos()3fxxx132sin(cossin)22xxx2sincos3sinxxx133sin2cos2222xx3sin(2)32x．因为()fx的最小正周期为2T，则1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()sin(2)32fxx．因为,6x所以0233x．则3sin(2)123x．当232x，即12x时，()fx取得最大值是312；当233x，即2x时，()fx取得最小值是3．()fx在区间[,]62的最大值为312，最小值为3．16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由22nSnn，当2n时，221=221143.nnnaSSnnnnn当1n时，111,aS而4131，所以数列na的通项公式43nan，nN．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得(1)(1)43,nnnnban当n为偶数时，15913174342,2nnTnn当n为奇数时，1n为偶数，112(1)(41)21.nnnTTbnnn综上，2,,21,.nnnTnn为偶数为奇数17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数11323314+25310x本．（Ⅱ）设事件A={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}．男生阅读5本名著的3人分别记为123,,aaa，女生阅读5本名著的2人分别记为12,.bb从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：12,aa，13,aa，23,aa，12,bb，11,ab，12,ab，21,ab，22,ab，31,ab，32,ab．其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：11,ab，12,ab，21,ab，22,ab，31,ab，32,ab．则63105PA（）．（Ⅲ）2212ss．18．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且ABAC，所以AMBC．又因为11//BBAA，且1AA底面ABC，所以1BB底面ABC．因为AM底面ABC，所以1BBAM，又1BBBCB，所以AM平面11BBCC．又因为AM平面APM，所以平面APM平面11BBCC．（Ⅱ）取11CB中点D，连结1AD，DN，DM，1BC．由于D，M分别为11CB，CB的中点，所以DM//1AA,且DM=1AA．则四边形1AAMD为平行四边形，所以1AD//AM．又1AD平面APM，AM平面APM，所以1AD//平面APM．由于D，N分别为11CB，1CC的中点，所以DN//1BC．又P，M分别为1BB，CB的中点，所以MP//1BC．则DN//MP．又DN平面APM，MP平面APM，所以DN//平面APM．由于1AD=DND,所以平面1ADN//平面APM．由于1AN平面1ADN，所以1//AN平面APM．（Ⅲ）假设1BC与平面APM垂直，由PM平面APM，则1BCPM．设PBx，[0,3]x．当1BCPM时，11BPMBCB，所以RtPBM∽11RtBCB，所以111CBPBMBBB．由已知1112,22,3MBCBBB，所以2223x，得433x．由于43[0,3]3x，因此直线1BC与平面APM不能垂直．19．（本小题满分13分）解：（I）因为24a，22b，所以22c．所以以线段12FF为直径的圆的方程为222xy．（II）若存在点(,0)Qm，使得180PQMPQN，则直线QM和QN的斜率存在,分别设为1k,2k．等价于120kk．依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为(4)ykx．由22(4)142ykxxy，得2222(21)163240kxkxk．因为直线l与椭圆C有两个交点，所以0．即2222(16)4(21)(324)0kkk，解得216k．设11(,)Mxy，22(,)Nxy,则21221621kxxk，212232421kxxk，11(4)ykx，22(4)ykx．令1212120yykkxmxm，1221()()0,xmyxmy1221()(4)()(4)0xmkxxmkx,当0k时，12122(4)()80xxmxxm，所以22324221kk2216(4)8021kmmk，化简得，28(1)021mk，所以1m．当0k时，也成立．所以存在点(1,0)Q，使得180PQMPQN．20．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)若1k，函数()fx的定义域为1xx，22e(3)()=1)xxfxx（．则曲线()yfx在点0(0)f，处切线的斜率为(0)=3f．而(0)=1f，则曲线()yfx在点0(0)f，处切线的方程为31yx．（Ⅱ）函数()fx的定义域为xxk，222e(2)()=)xkkxfxkx（．（1）当0k时，由xk,且此时22kkk，可得2222kkkkk．令()0fx，解得22xkk-或22xkk，函数()fx为减函数；令()0fx，解得2222kkxkk，但xk，所以当22kkxk，22kxkk时，函数()fx也为增函数．所以函数()fx的单调减区间为22)kk（-，-，22+)kk（，，单调增区间为22)kkk（-，，2,2)kkk（．（2）当0k时，函数()fx的单调减区间为（-,0)，+（0,)．当2k时，函数()fx的单调减区间为2（-,-)，2+（-，)．当20k时，由220kk，所以函数()fx的单调减区间为k（-,)，+k（,)．即当20k时，函数()fx的单调减区间为k（-,)，+k（,)．（3）当2k时，此时22kkk-．令()0fx，解得22xkk-或22xkk，但xk，所以当xk，22kxkk-，22xkk时