2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于()A．{0}B．{0,1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}2．命题“若π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若π4，则tanα≠1B．若π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则π4D．若tanα≠1，则π43．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71yx，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(,)xyC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg5．已知双曲线C：22221xyab的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A．221205xyB．221520xyC．2218020xyD．2212080xy6．函数f(x)＝sinx－cos(x＋π6)的值域为()A．[－2,2]B．[3,3]C．[－1,1]D．33[,]227．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，1ABBC，则BC等于()A．3B．7C．22D．238．已知两条直线l1：y＝m和l2：821ym(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，ba的最小值为()A．162B．82C．384D．344二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：112xtyt，(t为参数)与曲线C2：sin3cosxay，(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.10．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为__________________．11．如图，过点P的直线与O相交于A，B两点，若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则O的半径等于________．(二)必做题(12～16题)12．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.13．61(2)xx的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.理图文图15．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．(1)若π6，点P的坐标为(0，332)，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．16．设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段2N个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段2iN个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．20．某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)．(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．22．已知函数f(x)＝eax－x，其中a≠0.(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．1．B由N＝{x|x2≤x}，得x2－x≤0⇒x(x－1)≤0，解得0≤x≤1.又∵M＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0,1}．2．C命题“若π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则π4”．3．D若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项．4．DD项中，若该大学某女生身高为170cm，则其体重约为：0.85×170－85.71＝58．79(kg)．故D项不正确．5．A由2c＝10，得c＝5，∵点P(2,1)在直线byxa上，∴21ba.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.故C的方程为221205xy.6．Bf(x)＝sinx－cos(x＋π6)＝31sin(cossin)22xxx＝33sincos22xx＝313(sincos)22xx＝π3sin()[3,3]6x．故选B项．7．A∵||||cos(π)2||(cos)1ABBCABBCBBCB，∴1cos2||BBC.又∵222||||||cos2||||ABBCACBABBC＝24||9122||2||BCBCBC，∴2||=3BC.∴||=3BCBC.8．B由题意作出如下的示意图．由图知a＝|xA－xC|，b＝|xD－xB|，又∵xA·xB＝1，xC·xD＝1，∴11||1||||CAACACxxbaxxxx.yA＋yC＝－log2xA－log2xC＝－log2xAxC＝8218172122122mmmm，当且仅当218221mm，即32m时取等号．由－log2xAxC≥72，得log2xAxC≤72，即0＜xAxC≤722从而721282||ACbaxx，当32m时，ba取得最小值82，故选B项．9．答案：32解析：∵C1：1,12,xtyt∴C1的方程为2x＋y－3＝0.∵C2：sin,3cos,xay∴C2的方程为22219xya.∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a＞0，∴C1与x轴的交点(32，0)在C2上，代入解得32a.10．答案：{x|x＞14}解析：对于不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0，分三种情况讨论：1°，当12x时，－2x－1－2(－x＋1)＞0，即－3＞0，故x不存在；2°，当112x时，2x＋1－2(－x＋1)＞0，即114x；3°，当x＞1时，2x＋1－2(x－1)＞0,3＞0，故x＞1.综上可知，14x，不等式的解集是14xx．11．答案：6解析：过P作圆的切线PC切圆于C点，连结OC．∵PC2=PA·PB=1×3=3，∴3PC.在Rt△POC中，226OCPOPC.12．答案：10解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝32＋12＝10.13．答案：－160解析：61(2)xx的通项为6161C(2)()rrrrTxx＝(－1)r6Cr26－rx3－r.当3－r＝0时，r＝3.故(－1)336C26－3＝－36C23＝－160.14．答案：－4解析：输入x＝－1，n＝3.i＝3－1＝2，S＝6×(－1)＋2＋1＝－3；i＝2－1＝1，S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5；i＝1－1＝0，S＝5×(－1)＋0＋1＝－4；i＝0－1＝－1，－1＜0，输出S＝－4.15．答案：(1)3(2)π4f(x)＝sin(ωx＋φ)，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)．解析：(1)π6时，f′(x)＝ωcos(ωx＋π6)．∵33'(0)2f，即π33cos62，∴ω＝3.(2)当ωx＋φ＝π2时，π2x；当ωx＋φ＝3π2时，3π2x.由几何概型可知，该点在△ABC内的概率为3π2π212π11||||||||2223π2[0cos()]sin()π2ACPxx＝π23ππ22sin()sin()＝π23ππsin()sin()22＝ππ2114.16．答案：(1)6(2)3×2n－4＋11解析：(1)由题意知，当N＝16时，P0＝x1x2x3x4x5…x16，P1＝x1x3x5…x15x2x4…x16，则P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，此时x7位于P2中的第6个位置．(2)方法同(1)，归纳推理知x173位于P4中的第3×2n－4＋11个位置．17．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．将频率视为概率得153(1)1002