2012年高考理科数学四川卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共42页）数学试卷第2页（共42页）数学试卷第3页（共42页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果时间A在一次试验中发生的概率是p，那么34π3VR在n次重复试验中时间A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCppkn…第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.7(1)x的展开式中2x的系数是（）A.42B.35C.28D.212.复数2(1i)2i（）A.1B.1C.iD.i3.函数29,3()3ln(2),3xxfxxxx＜，≥，在3x处的极限是（）A.不存在B.等于6C.等于3D.等于04.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（）A.31010B.1010C.510D.5155.函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（）A.B.C.D.6.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7.设a、b都是非零向量.下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是（）A.abB.∥abC.2abD.∥ab且||||ab8.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||OM（）A.22B.23C.4D.259.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元10.如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足60BOP，则A、P两点间的球面距离为（）A.2arccos4RB.π4RC.3arccos3RD.π3R11.方程22aybxc中的,,{3,2,0,1,2,3}abc，且,,abc互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条12.设函数()2cosfxxx，{}na是公差为π8的等差数列，125()()()5πfafafa，则2315[()]faaa（）DCAEBαCAODBP--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷第4页（共42页）数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）A.0B.21π16C.21π8D.213π16第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.设全集{,,,}Uabcd，集合{,}Aab，{,,}Bbcd，则()()UUAB痧_________.14.如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是_________.15.椭圆22143xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_________.16.记[]x为不超过实数x的最大整数.例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1.设a为正整数，数列{}nx满足1xa，1[][]()2nnnaxxxnN.现有下列命题：①当5a时，数列{}nx的前3项依次为5，3，2；②对数列{}nx都存在正整数k，当nk≥时总有nkxx；③当1n≥时，1nxa＞；④对某个正整数k，若1kkxx≥，则[]nxa.其中的真命题有_________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E.18.（本小题满分12分）函数2()6cos3sin3(0)2xfxx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数()fx的值域；（Ⅱ）若083()5fx，且0102(,)33x，求0(1)fx的值.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB平面ABC.（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小.20.（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，且22nnaaSS对一切正整数n都成立.（Ⅰ）求1a，2a的值；（Ⅱ）设10a，数列110{lg}naa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值.21.（本小题满分12分）如图，动点M与两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB.设动点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围.22.（本小题满分14分）已知a为正实数，n为自然数，抛物线22nayx与x轴正半轴相交于点A.设()fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.（Ⅰ）用a和n表示()fn；（Ⅱ）求对所有n都有33()1()11fnnfnn≥成立的a的最小值；（Ⅲ）当01a时，比较11()(2)nkfkfk与27(1)()4(0)(1)ffnff的大小，并说明理由.NMB1A1C1D1BDCAABCPyxBAOM3/142012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】D【解析】二项式7(1)x展开式的通项公式为712=kkCTx，令2k，则2237TCx，2x的系数为2721C．【提示】由题设，二项式7(1)x，根据二项式定理知，2x项是展开式的第三项，由此得展开式中2x的系数是27C，计算出答案即可得出正确选项【考点】二项式定理．2.【答案】B【解析】22(1i)1i2i12i2i【提示】由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项【考点】复数3.【答案】A【解析】分段函数在3x处不是无限靠近同一个值，故不存在极限．【提示】对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案【考点】分段函数，对数函数，函数的定义域．4.【答案】B【解析】1AE正方形的边长也为1222EDAEAD225ECEAABCB（），1CD222310cos210EDECCDCEDEDEC210sin1cos10CEDCED【提示】用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦【考点】余弦定理，同角三角函数．5.【答案】D数学试卷第10页（共42页）数学试卷第11页（共42页）数学试卷第12页（共42页）【解析】函数1(0,1)xyaaaa，的图像可以看成把函数xya的图像向下平移1a个单位得到的．当1a时，函数1(0,1)xyaaaa在R上增函数，且图像过(1,0)故排除A，B，当10a时，函数1,(0,1)xyaaaa在R上减函数，且图像过点(1,0)，故排除C，故选D．【提示】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可【考点】函数图像6.【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确．【提示】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【考点】真假命题的判定，平行与垂直关系．7.【答案】D【解析】若使abab成立，则a与b方向相同且模长相等，选项中只有D能保证，故选D．【提示】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【考点】平面向量的基本概念，充分必要条件．8.【答案】B【解析】设抛物线方程为22(0)ypxp，则焦点坐标为,02P，准线方程为2pxM在抛物线上，M到焦点的距离等于到准线的距离．220232py，且2232p解得：2p，022y点(2,22)M222(22)23OM【提示】关键点0(2,)My到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M5/14的坐标，由此可求OM【考点】抛物线，点与点的距离公式．9.【答案】C【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得300400zxy且21221200xyxyxy画可行域如图所示，第9题图目标函数300400zxy可变形为34400zyx这是随z变化的一组平行直线解方程组212212xyxy，44xy即(4,4)Amax120016002800z【提示】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可【考点】二元线性规划的实际应用．10.【答案】A【解析】以O为原点，分别以OB、OC和OA成45角所在直线为x、y、z轴，则22,0,22ARR，13,,022PRR22cos4AOPOAOPR2arccos4AOP2arccos4APR数学试卷第16页（共42页）数学试卷第17页（共42页）数学试卷第18页（共42页）【提示】由题意求出AP的距离，然后求出AOP，即可求解A、P两点间的球面距离【考点】空间向量11.【答案】B【解析】方程22aybxc变形得222acxybb，若表示抛物线，则0,0ab所以，分3b，2，1，2，3五种情况：（1）若3b，2,0,1,2,31,2,0,2,32,2,0,1,332,0,1,2acacacac或或或或或或或或或，或或或（2）若3b，2,0,1,2,31,2,