教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第七节

高考调研第1页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第八章立体几何高考调研第2页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第7课时空间向量的应用(一)平行与垂直高考调研第3页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直．2．理解直线的方向向量与平面的法向量．3．能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用．高考调研第4页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习请注意本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择题、填空题形式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题．高考调研第5页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔题组层级快练高考调研第6页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有个．平行无数多高考调研第8页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有，它们是_____向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是确定的．无数多个共线唯一高考调研第9页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔．如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔.直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔；若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔；(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)高考调研第10页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔__________________________．若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔.(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0高考调研第11页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对答案C高考调研第12页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案A解析v2＝－2v1，∴l1∥l2.高考调研第13页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)答案A高考调研第14页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)答案A解析∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥MP→，在选项A中，MP→＝(1,4,1)，∴n·MP→＝0.高考调研第15页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为()A．(13，－23，23)B．(－13，23，－23)C．±(13，－23，23)D．(23，13，－23)答案C高考调研第16页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则AB→·n＝0，AC→·n＝0，即2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0.令z＝1，得x＝12，y＝－1.∴n＝(12，－1,1)．∴平面ABC的单位法向量为±n|n|＝±(13，－23，23)．高考调研第17页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习6．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案C高考调研第18页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第19页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.题型一证明平行关系高考调研第20页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】以D为原点，DA→，DC→，DD1→分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)．∴PQ→＝(－3,2,1)，RS→＝(－3,2,1)．∴PQ→＝RS→，∴PQ→∥RS→即PQ∥RS.高考调研第21页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝DC，E是PC的中点，求证：PA∥平面EBD.高考调研第22页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】连接AC交BD于O，设DA→＝a，DC→＝b，DP→＝c，则PA→＝DA→－DP→＝a－c，EO→＝DO→－DE→＝12(DA→＋DC→)－12(DP→＋DC→)＝12(DA→－DP→)＝12(a－c)．∴PA→＝2EO→，∴PA∥EO.又PA⊄平面EBD，且OE⊂平面EBD，∴PA∥平面EBD.高考调研第23页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.【证明】如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，N(12，0,1)，B(1,1,0)，F(0，12，1)，E(12，1,1)．高考调研第24页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴AM→＝(0，12，1)，DF→＝(0，12，1)．∴AM→＝DF→，∴AM∥DF.又∵AM⊄平面EFDB，且DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又∵AN→＝BE→＝(－12，0,1)，可证AN∥平面EFDB.又AN∩AM＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.【答案】(1)略(2)略(3)略高考调研第25页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可．(2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向向量与平面法向量垂直．(3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相平行来证．高考调研第26页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.思考题1高考调研第27页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)．∵AP＝2PA1，∴AP→＝2PA1→＝23AA1→.即AP→＝23(0,0,2)＝(0,0，43)．∴P点坐标为(3,0，43)．高考调研第28页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，23)．∴PQ→＝(－3,2，23)＝RS→.∴PQ→∥RS→.又∵R∉PQ，∴PQ∥RS.方法二：设OA→＝a，OB→＝b，OO1→＝c，则PQ→＝PA1→＋A1O1→＋O1Q→＝13AA1→－OA→＋12OB→高考调研第29页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习＝13c－a＋12b，RS→＝RA→＋AO→＋OB→＋BS→＝－12OB→－OA→＋OB→＋13BB1→＝－a＋12b＋13c.∴PQ→＝RS→，∴PQ→∥RS→.又∵R∉RQ，∴PQ∥RS.高考调研第30页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.高考调研第31页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】方法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0,1，12)，N(12，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝(12，0，12)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，高考调研第32页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n.又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二：∵MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，高考调研第33页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴MN→∥DA1→.又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.【答案】(1)略(2)略高考调研第34页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.题型二证明垂直关系【思路】欲证PM⊥QN，只需证明PM→·QN→＝0.高考调研第35页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.∵OM→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，ON→＝12(OA→＋OC→)＝12(a＋c)，∴PM→＝PO→＋OM→＝－12a＋12(b＋c)＝12(b＋c－a)，QN→＝QO→＋ON→＝－12b＋12(a＋c)＝12(a＋c－b)．∴PM→·QN→＝14[c－(a－b)][c＋(a－b)]高考调研第36页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习＝14[c2－(a－b)2]＝14(|OC→|2－|BA→|2)．∵|AB→|＝|OC→|，∴PM→·QN→＝0，即PM→⊥QN→.∴PM⊥QN.高考调研第37页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.高考调研第38页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】以D为原点，DA→，DC→，DD1→分别