人教版高中数学必修一第6讲：函数的奇偶性（教师版）

1函数的奇偶性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解函数的奇偶性及其图像特征；2、能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义1、图形描述：函数fx的图像关于y轴对称fx为偶函数；函数fx的图像关于原点轴对称fx为奇函数定量描述一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，则称fx为偶函数；如果都有--fxfx，则称fx为奇函数；如果()()fxfx与--fxfx同时成立，那么函数fx既是奇函数又是偶函数；如果()()fxfx与--fxfx都不能成立，那么函数fx既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。如果函数fx是奇函数或偶函数，则称函数()yfx具有奇偶性。特别提醒：1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断fxfx与fxfx这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。二、函数具有奇偶性的几个结论1、yfx是偶函数yfx的图像关于y轴对称；yfx是奇函数yfx的图像关于原点对称。2、奇函数fx在0x有定义，必有00f。3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称2的两个区间上单调性相同。4、,fxgx是定义域为12,DD且12DD要关于原点对称，那么就有以下结论：奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。6、多项整式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项的系数和常数项全为零；多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项的系数全为零。类型一函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝1x＋x；解析：(1)函数f(x)的定义域为R，又∵f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，∴函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f(－x)＝1－x－x＝－(1x＋x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝1x＋x是奇函数．答案：（1）偶函数（2）奇函数练习1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；答案：（1）偶函数（2）奇函数练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()A．y＝x＋1B．y＝－x2C．y＝1xD．y＝x|x|答案：D类型二分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f(x)＝－x2＋xx2－x的奇偶性．解析：任取x0，则－x0.∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝－(－x2＋1)＝－f(x)．又任取x0，则－x0.∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋13＝－(x2－1)＝－f(x)．对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴函数f(x)为奇函数．答案：奇函数练习1：判断函数f(x)＝x2＋2x0x＝－x2－x的奇偶性．答案：奇函数.练习2：如果F(x)＝2x－3xfxx是奇函数，则f(x)＝________.的单调性答案：2x＋3类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．解析：当x0时，－x0，∵当x0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．答案：x(1＋x)练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．答案：f(x)＝2x＋1x0x＝2x－1x练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，则当x0时，f(x)的表达式为()A．f(x)＝x＋1B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1D．f(x)＝－x－1答案：D类型四抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．解析：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0，再令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴f(x)是奇函数．答案：见解析4练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数．答案：令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)，①令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)，②由①②得，f(－x)＝f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．2：已知()fx是定义在R上的任意一个增函数，Gxfxfx，则Gx必定为（）A、增函数且为奇函数B、增函数且为偶函数C、减函数且为奇函数D、减函数且为偶函数答案：A类型五含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1的奇偶性．解析：当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1，∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)，∴当a＝0时，函数f(x)为偶函数．当a≠0时，f(1)＝2＋|1－a|，f(－1)＝2＋|1＋a|，假设f(1)＝f(－1)，则|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2，∴a＝0，这与a≠0矛盾，假设f(－1)＝－f(1)，则2＋|1＋a|＝－2－|1－a|这显然不可能成立(∵2＋|1＋a|0，－2－|1－a|0)，∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，∴当a≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数．答案：非奇非偶.练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f(x)＝x2＋ax，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．答案：偶函数练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝ax＋bx(其中a、b为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，52)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性．5答案：(1)f(x)＝x＋1x.(2)f(x)为奇函数．类型六利用奇偶性确定函数中字母的值例6:已知函数f(x)＝ax2＋23x＋b是奇函数，且f(2)＝53.求实数a、b的值；解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴ax2＋2－3x＋b＝－ax2＋23x＋b，∴－3x＋b＝－3x－b，∴b＝0.又f(2)＝53，∴4a＋26＝53，∴a＝2.答案：a＝2.b＝0.练习1:(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x＋b1＋x2为奇函数.求b的值；答案：b=0练习2:若函数(0)ykxbk是奇函数，则b；若函数2(0)yaxbxca为偶函数，则b。答案:0;0类型七：利用奇偶性解不等式例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m－1)＋f(1－2m)≥0，求实数m的取值范围．解析：由题意知－2m－12－21－2m2，得－12m32.由函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数及f(m－1)＋f(1－2m)≥0，得f(m－1)≥f(2m－1)．∵函数f(x)在(－2,2)上是减函数，∴m－1≤2m－1，得m≥0.∴实数m的取值范围是[0，32)．答案：[0，32)．练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x≥0时单调递减，设f(1－m)f(m)，求m的取值范围．答案：－1，12.练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(2x－1)f(13)的x的取值范围是()6A．13，23B．13，23C．12，23D．12，23答案：C类型八利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，∴g(－1)＝72.又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)．∴g(1)＝－g(－1)＝－72.∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－72)＋1＝－6.答案：－6.练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝()A．－15B．－13C．－5D．5答案:A练习2:(2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C．52D．5答案：C1、判断下列函数的奇偶性：（1）11fxxx；（2）111xfxxx；答案：（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数。2、已知函数()fx是奇函数，定义域为0xxRx且，又()fx在0,上为增函数，且10f，则满足0fx的x的取值范围是。OyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyx7答案：1,01,。3、若2)(24bxaxxf，且5)(cf，求)(cf的值；答案：54、已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，3()(1)fxxx，求()fx的解析式。答案:33(1)(0)()0(0)(1)(0)xxxfxxxxx5、已知2111xafxxxbx奇函数，求,ab的值。答案：00ab__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝()A．3B．－3C．2D．7答案：C2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；