教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第10章计数原理和概率第9节

高考调研第1页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率第十章计数原理和概率高考调研第2页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率第9课时随机变量的期望与方差高考调研第3页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差．2．离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义，因此求期望、方差是应用题的命题方向．请注意期望与方差是随机变量最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，是高考的热点之一．高考的主要题型有两种：一是求期望值和方差；二是有关的应用题．高考调研第4页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率课前自助餐高考调研第6页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．期望与方差若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望．称D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…为ξ的方差，Dξ叫做随机变量ξ的，记作____．标准差σ(ξ)高考调研第7页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率2．离散型随机变量的期望与方差具有下列性质(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)与方差D(ξ)是一个______，它们是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它们不具有随机性．(2)若离散型随机变量的一切值位于区间[a，b]内，E(ξ)的取值范围是.(3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的_________，而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度．数值a≤E(ξ)≤b平均水平高考调研第8页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(4)若η＝aξ＋b，其中ξ是离散型随机变量，a，b为常数，则E(η)＝，D(η)＝．(5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值既可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．(6)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2aE(ξ)＋ba2D(ξ)高考调研第9页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率3．常见离散型随机变量ξ的期望与方差(1)两点分布：若随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，则E(ξ)＝，D(ξ)＝．(2)二项分布：若随机变量ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝，D(ξ)＝．pp(1－p)npnp(1－p)高考调研第10页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．高考调研第11页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.答案(1)×(2)√(3)√(4)√高考调研第12页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率2．设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1,6，D(ξ)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45答案A解析由E(ξ)＝np＝1.6，D(ξ)＝np(1－p)＝1.28，检验可知n＝8，p＝0.2符合．高考调研第13页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率3．(2014·陕西理)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为()A．1＋a,4B．1＋a,4＋aC．1,4D．1,4＋a答案A解析利用样本的均值、方差公式求解．x1＋x2＋…＋x1010＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.故选A.高考调研第14页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率4．(2014·上海黄浦二模)某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值E(ξ)＝________.答案32高考调研第15页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率解析ξ的分布列为ξ1234P581556556156E(ξ)＝1×58＋2×1556＋3＋×556＋4×156＝32.高考调研第16页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率5．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．答案59高考调研第17页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又∵a＋b＋c＝1，E(ξ)＝－1×a＋1×c＝c－a＝13.∴a＝16，b＝13，c＝12.∴D(ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.高考调研第18页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率授人以渔高考调研第19页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率题型一期望、方差的性质例1设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(3ξ＋2)，D(2ξ－1)，σ(ξ－1)．【思路】利用性质E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．高考调研第20页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】∵E(ξ)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3，∴E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝11.D(ξ)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8，σ(ξ－1)＝Dξ－1＝Dξ＝2.【答案】11,8，2高考调研第21页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究1若ξ是随机变量，则η＝f(ξ)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．高考调研第22页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝________.思考题1【解析】E(ξ)＝x10，D(ξ)＝d21992＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92＝30|d|.【答案】30|d|高考调研第23页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个球，ξ表示所取球的标号．①求ξ的分布列、期望和方差；②若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．高考调研第24页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】①ξ的分布列为ξ01234P1212011032015∴E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.高考调研第25页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【答案】①E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75②a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4②由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．高考调研第26页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例2一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球．(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差．题型二期望与方差的计算高考调研第27页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为P＝26＝13.记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A，其概率为P(A)＝49.高考调研第28页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)设摸得白球的个数为X，则X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝46×35＝25，P(X＝1)＝46×25＋26×45＝815，P(X＝2)＝26×15＝115.高考调研第29页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率∴X的分布列为X012P25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝23，D(X)＝(0－23)2×25＋(1－23)2×815＋(2－23)2×115＝1645.【答案】(1)49(2)23，1645高考调研第30页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究2求离散型随机变量X的均值与方差的方法：(1)写出X的分布列；(2)由均值的定义求E(X)；(3)由方差的定义求D(X)．高考调研第31页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2014·天津理)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．思考题2高考调研第32页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【思路】(1)利用古典概型的概率公式求解；(2)先确定随机变量X的所有取值，求出对应的概率，列出分布列，再代入随机变量的期望公式求解．【解析】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.高考调研第33页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．所以随机变量X的分布列是X0123P1612310130所以数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.【答案】(1)4960(2)65高考调研第34页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率题型三二项分布的均值与方差例3(2015·山西四校联考)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．高考调研第35页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】(1)设事件A1表示甲选第22题，A2表示甲选第23