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高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习第九章解析几何高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习第3课时圆的方程高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.请注意圆是常见曲线,也是解析几何中的重点内容,几乎每年高考都有一至二题,以选择填空形式出现,难度不大,主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质.高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习1.圆的定义平面内(轨迹)是圆,定点是圆心,定长是半径.2.圆的标准方程设圆心为C(a,b),半径是r,则标准方程为__________________________.到定点的距离等于定长的点的集合(x-a)2+(y-b)2=r2高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习3.圆的一般方程当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程,它的圆心(),半径___________.二元二次方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0.表示圆的充要条件_______________:-D2,-E2D24+E24-FA=B≠0,D2+E2-4AF0高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习4.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习5.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)与圆的关系有三种.(1)点在圆上:___________________.(2)点在圆外:___________________.(3)点在圆内:.(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)2r2高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习1.圆x2+y2-6x+4y=0的周长是________.答案213π解析配方,得(x-3)2+(y+2)2=13.∴r=13,∴圆的周长c=2π·13=213π.高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习2.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.14m1B.m1C.m14D.m14或m1高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习答案D解析(x+2m)2+(y-1)2=4m2-5m+1表示圆,则4m2-5m+10,解得m14或m1.高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1答案A解析设圆的圆心C(0,b),则0-12+b-22=1.∴b=2.∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习4.(2015·西安五校联考)若过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的切线,切点为A,B,则△APB的外接圆方程为________.答案(x-2)2+(y-1)2=5解析连接OA,OB,由平面几何知识可知O,A,P,B四点共圆,故△APB的外接圆即为以OP为直径的圆,即圆心为C(2,1),半径r=12|OP|=|OC|=5,故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习5.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为________.答案(x-2)2+y2=10解析依题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,把所给两点坐标代入方程,得5-a2+1=r2,1-a2+9=r2,解得a=2,r2=10,所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=10.高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习授人以渔高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习例1已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求圆心的轨迹方程.题型一方程与圆高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习【解析】(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F0,即4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)0,所以-17m1.(2)r=-7m-372+167≤477,所以0r≤477.高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(3)设圆心坐标为(x,y),则x=m+3,y=4m2-1.消去m,得y=4(x-3)2-1.因为-17m1,所以207x4,即轨迹为抛物线的一段.y=4(x-3)2-1(207x4).【答案】(1)-17m1(2)0r≤477(3)y=4(x-3)2-1(207x4)高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习探究1(1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F0.(2)研究圆的相关概念以及点与圆的位置关系问题,常把一般式化为标准式,一是利用其各量的意义来确定各量,二是将点代入方程通过判定方程的取值或解不等式来讨论点与圆的位置关系问题.高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(1)如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)思考题1【解析】r=12k2+4-4k2=124-3k2,当k=0时,r最大.【答案】D高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(2)已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1,2),要使过定点A的圆的切线有两条,求实数a的取值范围.【思路】①对方程配方;②点在圆外的条件.高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习【解析】方法一:将圆的方程配方,得(x+a2)2+(y+1)2=4-3a24.∴圆心C的坐标为(-a2,-1),半径r=4-3a24.条件是4-3a20,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A必在圆外,∴|AC|r.高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习即1+a22+2+124-3a24,化简得a2+a+90.由a2+a+90,4-3a20,解得a∈R,-233a233.∴-233a233.故a的取值范围是(-233,233).高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习方法二:由题意,A在圆外,则需满足a2+22-4a20,x2+y2+ax+2y+a20,将A(1,2)代入,得-233a233.故a∈(-233,233).【答案】(-233,233)高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习例2根据下列条件,求圆的方程.(1)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程;(2)经过A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上;(3)与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程;(4)圆心在原点,且圆周被直线3x+4y+15=0分成1∶2两部分.题型二圆的方程高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习【解析】(1)由题意可知,圆心在线段AB的中垂线上,又∵kAB=-1且线段AB的中点为(0,0),则线段AB的中垂线方程为y=x.联立y=x,x+y-2=0,得圆心为(1,1).半径r=1-12+1+12=2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(2)方法一:从数的角度,若选用一般式:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心(-D2,-E2).∴52+22+5D+2E+F=0,32+22+3D+2E+F=0,2×-D2--E2-3=0.解之,得D=-8,E=-10,F=31.∴圆的一般方程为x2+y2-8x-10y+31=0.高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习方法二:从形的角度,AB为圆的弦,由平面几何知识知,圆心P应在AB中垂线x=4上,则由2x-y-3=0,x=4,得圆心P(4,5).∴半径r=|PA|=10.∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10.高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(3)方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=5.∵点A,B在圆上,所以可得到方程组1-a2+0-b2=5,5-a2+0-b2=5,解得a=3,b=±1.∴圆的标准方程是(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习方法二:由A,B两点在圆上,那么线段AB是圆的一条弦,根据平面几何知识:这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x=3上,于是可设圆心为C(3,b),又|AC|=5,即3-12+b2=5,解得b=1或b=-1.因此,所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.高考调研第32页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(4)如图,设直线与圆相交于A,B两点,因为圆周被直线3x+4y+15=0分成1∶2两部分,所以∠AOB=120°.而圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=1532+42=3,在△ABO中,可求得|OA|=6.所以所求圆的方程为x2+y2=36.高考调研第33页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习【答案】(1)(x-1)2+(y-1)2=4(2)x2+y2-8x-10y+31=0(3)(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5(4)x2+y2=36高考调研第34页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习探究2(1)求圆的方程有两种方法:①几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程;②代数法,即用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是:a.根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例中涉及圆心及切线,故设标准形式较简单);b.利用条件列出关于a,b,r,或D,E,F的方程组;c.解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.高考调研第35页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习(2)掌握一些特殊位置圆的设法:过原点的圆:x2+y2+Ex+Fy=0;与x轴相切的圆:(x-a)2+(y-b)2=b2;与y轴相切的圆:(x-a)2+(y-b)2=a2.高考调研第36页第九章解析几何新课标版·数学(理)·高三总复习根据下列条件求圆的方程.(1)半径为5且与x轴交于A(2,0),B(10,0)两点;(2)圆心在直线4x+y=0上,且与直线l:x+y-1=0切于点P(3,-2);思考题2(3)已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2
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