教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第10章计数原理和概率第6节

高考调研第1页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率第十章计数原理和概率高考调研第2页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率第6课时几何概型高考调研第3页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．了解几何概型的意义．2．了解日常生活中的几何概型．请注意纵观近几年高考所涉及几何概型的考查内容特点是与实际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷．高考调研第4页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率课前自助餐高考调研第6页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(或)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为．长度面积体积几何概型2．几何概型中事件A的概率计算公式P(A)＝_______________________________________.高考调研第7页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率3．要切实理解掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有__________；(2)等可能性：每个结果的发生具有．无限多个等可能性高考调研第8页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率4．几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积和体积)成正比，而与A的位置和形状无关．5．求试验中几何概型的概率关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．高考调研第9页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率1．(2014·湖南文)若在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15高考调研第10页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率答案B解析区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P＝35.高考调研第11页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率2．在长为6m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是()A.14B.13C.12D.23答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2m，∴P＝26＝13.高考调研第12页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率3．有一杯2升的水，其中含一个细菌，若用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是()A．0.01B．0.02C．0.05D．0.04答案C解析试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P＝0.12＝120＝0.05.高考调研第13页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率4．(2015·衡水调研卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是()A.π4B.π8C.π6D.π12答案C解析设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为4π3×(a2)3＝16πa3，故M在球O内的概率为16πa3a3＝π6.高考调研第14页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率5．(2015·人大附中期末)若在区间(0,2)内任取两数m，n(m≠n)，则椭圆x2m2＋y2n2＝1的离心率大于32的概率为________．答案12高考调研第15页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率解析如图，m，n的取值在边长为2的正方形中．高考调研第16页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率当mn时，椭圆离心率e＝m2－n2m＝1－nm2，由e32，得m2n.同理，当mn时，n2m.故满足条件的m，n为图中阴影部分．所求概率P＝2×12×2×122＝12.高考调研第17页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率授人以渔高考调研第18页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例1(1)在区间[0,3]上任取一个数x，使得不等式x2－3x＋20成立的概率为________．题型一与长度有关的几何概型【解析】x2－3x＋20⇔x2或x1，由几何概型概率公式可得P＝23.【答案】23高考调研第19页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．【解析】此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P(A)＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.【答案】35高考调研第20页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)(2013·福建理)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－10”发生的概率为________．思考题1探究1一维变量的几何概率可转化为长度概型．【解析】事件“3a－10”，即“a13”，故概率P＝23.【答案】23高考调研第21页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)(2013·湖北文)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.【解析】由几何概型，得56＝m－－26⇒m＝3.【答案】3高考调研第22页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例2(1)(2014·福建理)如图所示，若在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．题型二与面积有关的几何概型高考调研第23页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图像关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－10exdx)＝2e－2ex|10＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝S阴影S正方形＝2e2.【答案】2e2高考调研第24页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．【思路】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即23小时．设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－23≤x－y≤23，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．高考调研第25页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x－y≤23.高考调研第26页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．高考调研第27页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为P＝S阴影S单位正方形＝1－13212＝89.【答案】89高考调研第28页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究2(1)“面积比”是几何概率的一种重要概型，既有实际面积比也有可转化为面积比的问题．(2)会面的问题是利用数形结合转化成面积问题的几何概型，难点是把两个时间分别用x，y表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成几何概型的面积问题．(3)对二元变量问题，一般都可转化为面积的问题．高考调研第29页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)(2015·湖北八校联考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．思考题2高考调研第30页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解．正方形内空白部分面积为1－1[x2－(－x2)]dx＝1－12x2dx＝23·x3|1－1＝23－－23＝43，阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.【答案】23高考调研第31页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4高考调研第32页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】画草图易知区域D是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.选D.【答案】D高考调研第33页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率题型三与体积有关的几何概型例3已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC12VS－ABC的概率是________．高考调研第34页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－18＝78.【答案】78高考调研第35页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究3几何概型的概率公式中的“几何度量”，除了前面的长度、面积，也可以是体积，而且只与体积大小有关．高考调研第36页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(1)若在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于a的概率为________．思考题3【解析】满足条件的点在以A为球心，半径为a的18球内，所以所求概率为P＝18×43πa3a3＝π6.【答案】π6高考调研第37页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率(2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．【解析】圆柱的体积V柱＝πR2h＝2π，半球的体积V半球＝12×43πR3＝23π.∴圆柱内一点P到点O的距离小于等于1的概率为13.∴点P到点O的距离大于1的概率为1－13＝23.【答案】23高考调研第38页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率例4过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求ADAC的概率．题型四与角度有关的几何概型高考调研第39页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率【解析】在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，ADAC.易知∠ACE＝67.5°，∴ADAC的概率P＝67.5°90°＝0.75.【答案】0.75高考调研第40页新课标版·数学（理）·高三总复习第十章计数原理和概率探究4(1)解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：①每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域表示；②每次试验的各种结果是等可能的．(2)对于两个区域A、B，且A⊆B，当区域B为平面图形时，如果点P在整个平面