教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第三节

高考调研第1页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第八章立体几何高考调研第2页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第3课时空间点、线、面间位置关系高考调研第3页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．请注意平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现．高考调研第4页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．公理2：经过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有条通过的公共直线．两点不在同一直线上一该点高考调研第7页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面α内记作，点A不在平面α内记作.(2)点与线的位置关系：点A在直线l上记作，点A不在直线l上，记作.(3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作，直线l不在平面α内记作_______.(4)平面α与平面β相交于直线a，记作.(5)直线l与平面α相交于点A，记作.(6)直线a与直线b相交于点A，记作.A∈αA∉αA∈lA∉ll⊂αl⊄αα∩β＝al∩α＝Aa∩b＝A高考调研第8页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类．高考调研第9页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)异面直线所成的角．①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．锐角或直角②范围：_______．(0，π2]高考调研第10页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，那么就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.高考调研第11页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√高考调研第12页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．空间四点中，三点共线是这四点共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A高考调研第13页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2014·广东文)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案D高考调研第14页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析在正六面体中求解，也可以借助教室中的实物帮助求解．在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.高考调研第15页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知直线a，b，c，有下面四个命题：①若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的序号是________．答案③解析①a，c可能相交、平行或异面；②a，c可能相交、平行或异面；③正确；④a，c可能相交、平行或异面．高考调研第16页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？(2)D1B和CC1是否是异面直线？高考调研第17页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习思路(1)易证MN∥AC，所以AM与CN不是异面直线；(2)由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法．解析(1)不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.∴A，M，N，C在同一平面内．故AM和CN不是异面直线．高考调研第18页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)是异面直线．理由：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α.∴D1，B，C，C1∈α.∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．高考调研第19页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第20页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；题型一平面的性质高考调研第21页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．高考调研第22页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．高考调研第23页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．【答案】④高考调研第24页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证．高考调研第25页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2013·安徽理)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】B，C，D都是公理．【答案】A思考题1高考调研第26页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．题型二平面基本性质的应用高考调研第27页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．高考调研第28页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．高考调研第29页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)∵EF∥BD且EFBD，∴DE与BF相交．设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.【答案】(1)略(2)略(3)略高考调研第30页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)点共线问题的证明方法：证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)线共点问题的证明方法：证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上．高考调研第31页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)点线共面问题的证明方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．高考调研第32页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()思考题2高考调研第33页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．高考调研第34页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．【答案】D高考调研第35页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．高考调研第36页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】①如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．高考调研第37页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习②∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．【答案】①略②略高考调研第38页第八章立体几何新