教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第八章立体几何第五节

高考调研第1页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第八章立体几何高考调研第2页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习第5课时直线、平面垂直的判定及性质高考调研第3页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．请注意纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各种关系的转化，从而体现了能力命题的方向．特别是线面垂直，集中了证明和计算的中心内容．高考调研第4页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第5页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面．推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面．相交垂直垂直高考调研第7页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．直线与平面垂直的性质定理(1)如果两条直线垂直于，那么这两条直线平行．(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的___________直线垂直．同一个平面任意一条高考调研第8页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．平面与平面垂直的判定定理如果一个平面，那么两个平面互相垂直．4．平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_____________________的直线垂直于另一个平面．经过了另一个平面的一条垂线垂直于它们交线高考调研第9页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0，π2]．高考调研第10页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a∥b.(5)若平面α⊥平面β，直线a⊥平面β，则a∥α.(6)若直线a⊥平面α，直线a⊂平面β，则α⊥β.答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√高考调研第11页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β答案D高考调研第12页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析对于选项A，两平面β，γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α，β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，由m∥n，m⊥α，∴n⊥α.又n⊥β，∴α∥β，故选D.高考调研第13页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2013·新课标全国Ⅱ理)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案D高考调研第14页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习解析因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.高考调研第15页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()答案A解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为2.高考调研第16页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习5.在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°.求证：CD⊥平面A1ABB1.高考调研第17页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案略证明连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝22.设AD＝x，则BD＝22－x.∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.高考调研第18页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第19页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.题型一线线垂直、线面垂直高考调研第20页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】(1)连接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点．∴AN＝12PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝12PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形．又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又AB∥CD，∴MN⊥CD.高考调研第21页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM，又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.【答案】(1)略(2)略高考调研第22页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1证线面垂直的方法有：(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．高考调研第23页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思考题1高考调研第24页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC.故CD⊥AE.高考调研第25页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，由于PC∩CD＝C，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.【答案】(1)略(2)略高考调研第26页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2(1)△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.题型二面面垂直高考调研第27页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】①取EC的中点F，连接DF.∵BD∥CE，∴DB⊥BA.又EC⊥BC，在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.高考调研第28页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习②取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊12EC.∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.【答案】①略②略③略高考调研第29页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.AE⊥平面PBC，E为垂足．①求证：PA⊥平面ABC；②当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．高考调研第30页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】已知条件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到面面垂直的性质定理，便有如下解法．【证明】①在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.高考调研第31页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证：DG⊥PA.DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.高考调研第32页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习②连接BE并延长交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形．【答案】①略②略高考调研第33页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．②的关键是灵活利用①题的结论．高考调研第34页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2014·江苏)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.思考题2高考调研第35页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.高考调研第36页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝12PA＝3，EF＝12BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2.所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.高考调研第37页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.【答案】(1)略(2)略高考调研第38页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习例3(2015·山东威海一模)如图所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．题型三平行与垂直的综合问题高考调研第39页第八章立体几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：P