教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何第10节

高考调研第1页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第九章解析几何高考调研第2页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习第10课时抛物线(二)高考调研第3页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第4页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第5页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．直线与抛物线的位置关系联立y2＝2px，y＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①相切：k2≠0，Δ＝0；②相交：k2≠0，Δ0；③相离：k2≠0，Δ0.高考调研第6页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通径，抛物线y2＝2px(p0)的通径长为.3．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：2p(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.高考调研第7页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)S△AOB＝p22sinθ(θ为直线AB的倾斜角)．(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(6)以AF或(BF)为直径的圆与y轴相切．高考调研第8页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案C高考调研第9页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习2．(2014·新课标全国Ⅱ文)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.303B．6C．12D．73高考调研第10页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案C解析先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定义求解弦长．∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F(34，0)．∴AB的方程为y－0＝tan30°(x－34)，即y＝33x－34.联立y2＝3x，y＝33x－34，得13x2－72x＋316＝0.高考调研第11页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴x1＋x2＝－－7213＝212，即xA＋xB＝212.由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝212＋32＝12.高考调研第12页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2015·东北三校)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|高考调研第13页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案C解析抛物线的准线方程为x＝－p2，由定义得|FP1|＝x1＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋p2＋x3＋p2＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.高考调研第14页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习4．(2015·辽宁五校期末联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2B.12C.32D.52高考调研第15页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AB|＝4，∴x1＋12＋x2＋12＝4，∴x1＋x2＝3.∴C点横坐标为32，故选C.高考调研第16页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.答案32解析抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±22.由抛物线关于x轴对称，假设A(2,22)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝22(x－1)，代入抛物线的方程消去y，得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或12，所以x2＝12，故|BF|＝32.高考调研第17页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第18页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例1已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．题型一直线与抛物线的位置关系【解析】联立方程y＝a＋1x－1，y2＝ax.(1)当a＝0时，此方程组恰有一组解x＝1，y＝0.(2)当a≠0，消去x，得a＋1ay2－y－1＝0.高考调研第19页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习①若a＝－1，方程组恰有一解x＝－1，y＝－1.②若a≠－1，令Δ＝0，得1＋4a＋1a＝0，解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.【答案】a＝0或a＝－1或a＝－45高考调研第20页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况．(2)在讨论时应注意全面，如本例不要忽略a＝0的情况．高考调研第21页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(2015·福建漳州七校第一联考)已知抛物线C过点A(1,2)且关于x轴对称．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若直线l：y＝x＋m与抛物线C相切于点A，求直线l的方程及点A的坐标．【解析】(1)由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p0)．因为抛物线C过点A(1,2)，所以22＝2p×1，所以p＝2.所以抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.思考题1高考调研第22页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)x＝－1(2)y＝x＋1，A(1,2)(2)联立直线与抛物线方程，得y＝x＋m，y2＝4x，消去y，得到(x＋m)2＝4x，化简得x2＋(2m－4)x＋m2＝0.①因为直线l：y＝x＋m与抛物线C相切，所以方程①的判别式Δ＝0，即(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，直线l的方程为y＝x＋1，这时方程①为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入直线方程得y＝2，所以切点A的坐标为(1,2)．高考调研第23页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知AB是抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB与x轴的夹角)；(3)S△AOB＝p22sinθ；(4)1|AF|＋1|BF|为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．高考调研第24页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】求(1)要写出焦点F的坐标p2，0，由点斜式写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与y2＝2px联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|＝|AF|＋|BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；(3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；(4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出AB的中点M，再证明M点到准线的距离等于12|AB|即可．高考调研第25页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵y2＝2px(p0)的焦点为Fp2，0，设直线方程为y＝k(x－p2)(k≠0)．由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.①∴y1y2＝－p2，x1x2＝y1y224p2＝p24.当k不存在时，直线方程为x＝p2.高考调研第26页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习这时y1＝p，y2＝－p，则y1y2＝－p2，x1x2＝p24.因此，总有y1y2＝－p2，x1x2＝p24成立．(2)由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x＝－p2的距离．∴|AF|＝x1＋p2，同理：|BF|＝x2＋p2.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.②又∵θ≠90°时，y＝kx－p2，∴x＝1ky＋p2.高考调研第27页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习∴x1＋x2＝1k(y1＋y2)＋p.由方程①知y1＋y2＝2pk，∴x1＋x2＝2pk2＋p.③将③代入②，得|AB|＝2pk2＋2p＝2p1＋1k2＝2p1＋1tan2θ＝2psin2θ.当α＝90°，|AB|＝|y1－y2|＝2p＝2psin2θ.综上所述，|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.高考调研第28页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(3)S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋12|OF|·|BF|·sinθ＝12|OF|·sinθ·(|AF|＋|BF|)＝12·|OF|·|AB|·sinθ＝12·p2·2psin2θ·sinθ＝p22sinθ.高考调研第29页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(4)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数．高考调研第30页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(5)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为C，N，D，如图．高考调研第31页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】略则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.∴以AB为直径的圆与准线相切．高考调研第32页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)解决直线与抛物线问题时，要注意以下几点：①设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y＝2px1，y＝2px2；③利用yy＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解．高考调研第33页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则∠MFN＝90°；(2)若取MN的中点R，则∠ARB＝90°；(3)以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F；(4)若经过点A和抛物线顶点O的直线交准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴．思考题2高考调研第34页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】高考调研第35页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习(1)由抛物线的定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.∴∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝∠BFN.∵AM∥x轴，BN∥x轴，∴∠AMF＝∠KFM，∠BNF＝∠KFN.∠MFN＝∠KFM＋∠KFN＝90°.(2)高考调研第36页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习方法一：P为AB的中点，有|PR|＝12(|MA|＋|NB|)＝12|AB|，则∠ARB＝90°.方法二：易知R－p2，y1＋y22，则RA→＝x1＋p