教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第九章解析几何单元测试卷

第九章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若直线l1：kx－y－3＝0和l2：x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k等于()A．－3B．－2C．－12或－1D.12或1答案A解析依题意，得直线l1和l2垂直的充要条件是k－(2k＋3)＝0，即k＝－3.2．直线x－y＋5＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0相交所截得的弦长等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝9，其圆心C(1,2)到直线x－y＋5＝0的距离d＝22，所以截得的弦长l＝232－222＝2.3．圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0的位置关系为()A．外离B．外切C．相交D．内切答案D解析配方得圆C1：x2＋(y－1)2＝1，圆心C1(0,1)，半径r1＝1.圆C2：(x－3)2＋y2＝9，圆心C2(3，0)，半径r2＝3，而|C1C2|＝0－32＋1－02＝2＝r2－r1，则两圆的位置关系为内切．4．若双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝()A.3B．2C．3D．6答案A解析双曲线x26－y23＝1的渐近线方程为y＝±22x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，故圆心(3,0)到直线y＝±22x的距离等于r，即r＝326＝3.5．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足()A．a2b2B.1a1bC．0abD．0ba答案C解析将方程变为标准方程为x21a＋y21b＝1，由已知得，1a1b0，则0ab，选C.6．抛物线x2＝12y的焦点到准线的距离是()A．2B．1C.12D.14答案D解析抛物线标准方程x2＝2py(p0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离．又p＝14，故选D.7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝410x的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为()A．x2－y29＝1B.x29－y2＝1C．x2－y2＝1D.x29－y29＝1答案B解析抛物线y2＝410x的焦点为(10，0)，所以双曲线x2a2－y2b2＝1中c＝10，ca＝103，所以a＝3，b＝c2－a2＝1，所求方程为x29－y2＝1，故选B.8．已知抛物线y2＝2px(p0)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.5＋12B.2＋1C.3＋1D.22＋12答案B解析由抛物线与双曲线的焦点相同，得p2＝c.①又A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则两曲线的半通径相等，得p＝b2a.②由①，②消去p，得b2＝2ac.又∵c2＝a2＋b2，∴c2－a2－2ac＝0.又∵双曲线的离心率e1，∴e2－2e－1＝0，∴e＝2＋1.9．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离等于()A.74B．2C.94D．4答案C解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－14)，可知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(14，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋12＝4.故x1＋x2＝72，则弦AB的中点的横坐标是74，弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离是74＋12＝94.10.如图所示，过抛物线x2＝4py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋(y－p)2＝p2于点A，B，C，D，则AB→·CD→的值是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案D解析|AB→|＝|AF|－p＝yA，|CD→|＝|DF|－p＝yB，|AB→|·|CD→|＝yAyB＝p2.因为AB→，CD→的方向相同，所以AB→·CD→＝|AB→|·|CD→|＝yAyB＝p2.11．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，分别过点M，N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()A．x2－y28＝1(x1)B．x2－y210＝1(x0)C．x2－y28＝1(x0)D．x2－y210＝1(x1)答案A解析如图，设两切线分别与圆切于点S，T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故点P的轨迹方程为x2－y28＝1(x1)．12．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.1728D.10答案B解析设出直线AB的方程，用分割法表示出△ABO的面积，将S△ABO＋S△AFO表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OA→·OB→＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.又y21＝x1，y22＝x2，∴y1y2＝－2.联立y2＝x，x＝ny＋m，得y2－ny－m＝0.∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝12|OM||y1|＋12|OM||y2|＝y1－y2，S△AFO＝12|OF|·|y1|＝18y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1＋2y1≥298y1·2y1＝3.当且仅当y1＝43时，等号成立．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．过点A(－1,0)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________．答案2x－y＋2＝014．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析令|AB|＝2，则|AC|＝22.∴在椭圆中，c＝1,2a＝2＋22⇒a＝1＋2.可得e＝ca＝12＋1＝2－1.15．已知以y＝±3x为渐近线的双曲线D：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则|PF1|－|PF2||PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案0，12解析依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，所以0|PF1|－|PF2||PF1|＋|PF2|≤ac＝1e.又双曲线的渐近线方程y＝±3x，则ba＝3.因此e＝ca＝2，故0|PF1|－|PF2||PF1|＋|PF2|≤12.16．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)和圆O：x2＋y2＝b2，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是________．答案[32，1)解析∵OA⊥AP，由∠APB＝60°，知∠OPA＝30°.∴|OP|＝2|OA|＝2b.设P(x，y)，则x2＋y2＝4b2，x2a2＋y2b2＝1.消去x，得y2＝b2a2－4b2c2.由y2≥0，得a2－4b2≥0.即a2－4(a2－c2)≥0，c2a2≥34，∴e≥32.又e1，故椭圆C的离心率的取值范围是[32，1)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0间的线段AB恰好被P平分，求此直线的方程．答案8x－y－24＝0解析若直线AB无斜率，则其方程为x＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P，不合题意．所以直线AB必有斜率，设为k(k≠2且k≠－1)，则直线AB的方程为y＝k(x－3)．由y＝kx－3，2x－y－2＝0，解得y1＝4kk－2.由y＝kx－3，x＋y＋3＝0，解得y2＝－6kk＋1.据题意y1＋y22＝0，即4kk－2＋－6kk＋1＝0，解得k＝0或8.当k＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P，不符合题意，舍去．当k＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P，符合题意．∴直线AB的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围．答案(1)x2＋y2＝4(2)[－2,0)解析(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y－4＝0的距离，即r＝41＋3＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2.由x2＝4，即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得x＋22＋y2·x－22＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2.PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故x2＋y24，x2－y2＝2.由此得y21.所以PA→·PB→的取值范围为[－2,0)．19．(本小题满分12分)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→，求直线AB的方程．答案(1)y216＋x24＝1(2)y＝±x解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a2)，其离心率为32，故a2－4a＝32，解得a＝4.故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.(2)方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB→＝2OA→及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4.所以x2A＝41＋4k2.将y＝kx代入y216＋x24＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x2B＝164＋k2.又由OB→＝2OA→，得x2B＝4x2A，即164＋k2＝161＋4k2，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB→＝2OA→及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4.所以x2A＝41＋4k2.由OB→＝2OA→，得x2B＝161＋4k2，y2B＝16k21＋4k2.将x2B，y2B代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.20．(本小题满分12分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(－7,5)，B(－1，－1)两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值．答案(1)2y2－x2＝1(2)m＝－2，n＝26解析(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1，依题意有49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1.(2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0.①Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋40.设M(x1，y1)