新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练20

题组层级快练(二十)1．设f(x)＝x3＋x，则f(x)dx的值等于()A．0B．8C．202f(x)dxD.02f(x)dx答案A解析2．下列值等于1的是()A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dxD.0112dx答案C解析011dx＝x|10＝1.3．若函数f(x)＝x2＋2x＋m(m，x∈R)的最小值为－1，则12f(x)dx等于()A．2B.163C．6D．7答案B解析f(x)＝(x＋1)2＋m－1，∵f(x)的最小值为－1，∴m－1＝－1，即m＝0.∴f(x)＝x2＋2x.∴12f(x)dx＝12(x2＋2x)dx＝(13x3＋x2)|21＝13×23＋22－13－1＝163.4．(2015·福建莆田一中期末)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()答案D解析当x∈[0，π2]时，y＝sinx与y＝cosx的图像的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.5．(2015·东北三校一联)sin2x2dx＝()A．0B.π4－12C.π4－14D.π2－1答案B6．若a＝02x2dx，b＝02x3dx，c＝02sinxdx，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．cbaD．cab答案D解析a＝02x2dx＝13x3|20＝83，b＝02x3dx＝14x4|20＝4，c＝02sinxdx＝－cosx|20＝1－cos22，∴cab.7．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．6答案C解析因为物体A在t秒内行驶的路程为0t(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为0t10tdt，所以0t(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|t0＝t3＋t－5t2＝5，所以(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.8．(2015·山东淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()A.02|x2－1|dxB．|02(x2－1)dx|C.02(x2－1)dxD.01(x2－1)dx＋12(1－x2)dx答案A解析由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即02|x2－1|dx，选A.9．(2015·南昌一模)若1a(2x＋1x)dx＝3＋ln2(a1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意可知1a(2x＋1x)dx＝(x2＋lnx)|a1＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.10．(2014·湖北理)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析对于①，sin12xcos12xdx＝12sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数，选C.答案2π＋112．(2015·陕西五校二联)定积分(|x|－1)dx的值为________．答案－113．(2015·海淀一模)函数y＝x－x2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．答案16解析由x－x2＝0，得x＝0或x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为01(x－x2)dx＝(x22－x33)|10＝12－13＝16.14．(2015·安徽六校联考)已知a＝0πsinxdx，则二项式(1－ax)5的展开式中x－3的系数为________．答案－80解析由a＝0πsinxdx＝－cosx|π0＝－(cosπ－cos0)＝2，则x－3的系数为C35(－a)3＝10×(－2)3＝－80.15.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案23解析∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1.16．求由抛物线y2＝x－1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积．答案23解析y＝±x－1，y′x＝±12x－1.∵过点(2,1)的直线斜率为y′|x＝2＝12，直线方程为y－1＝12(x－2)，即y＝12x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y＝－12x，抛物线顶点在(1,0)．如图所示．由抛物线y2＝x－1与两条切线y＝12x，y＝－12x围成的图形面积为：S＝S△AOB－212x－1dx＝12×2×2－2×23×(x－1)32|21＝2－43(1－0)＝23.