新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练8

题组层级快练(八)1．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，则()A．f(2)f(3)B．f(3)f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定答案C解析∵f(4)＝f(1)，∴对称轴为52，∴f(2)＝f(3)．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x2－x－1B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1D．f(x)＝x2－x＋1答案D解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得c＝1，ax＋12＋bx＋1＋c－ax2＋bx＋c＝2x.故2a＝2，a＋b＝0，c＝1，解得a＝1，b＝－1，c＝1，则f(x)＝x2－x＋1.故选D.3.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，则|OA|·|OB|等于()A.caB．－caC．±caD．无法确定答案B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|ca|＝－ca(∵a0，c0)．4．(2015·上海静安期末)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,2]C．[－1,2]D．[2,5)答案C解析二次函数f(x)＝－x2＋4x的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x＝2时取得，而当x＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图像可知m的取值范围是[－1,2]．5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()答案C6．(2015·山东济宁模拟)设函数f(x)＝x2＋bx＋cx≤0，2x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．4B．2C．1D．3答案D解析由解析式可得f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，解得b＝4.f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2x≤0，2x0.又f(x)＝x，则当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.当x0时，x＝2，综上可知有三解．7．二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f(x)＝f(4－x)成立，若f(1－2x2)f(1＋2x－x2)，则实数x的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－2,0)D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案C解析由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x22,1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由f(1－2x2)f(1＋2x－x2)，得1－2x21＋2x－x2，解得－2x0.8．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)0恒成立，则实数b的取值范围是()A．－1b0B．b0C．b－1或b2D．不能确定答案C解析由f(1－x)＝f(1＋x)，得对称轴方程为x＝1＝a2.∴a＝2，f(x)在[－1,1]上是增函数．∴要使x∈[－1,1]，f(x)0恒成立．只要f(x)min＝f(－1)＝b2－b－20，∴b2或b－1.9．(2015·上海虹口二模)函数f(x)＝－x2＋4x＋1(x∈[－1,1])的最大值等于________．答案4解析因为对称轴为x＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x＝1时，函数取最大值4.10．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是________．答案(－4,0]11．设函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.答案612．已知函数f(x)＝x2－6x＋5，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是________．答案a≥5解析∵f(x)的对称轴为x＝3，要使f(x)在[1，a]上f(x)max＝f(a)，由图像对称性知a≥5.13．已知y＝(cosx－a)2－1，当cosx＝－1时，y取最大值，当cosx＝a时，y取最小值，则实数a的范围是________．答案0≤a≤1解析由题意知－a≤0，－1≤a≤1，∴0≤a≤1.14．若函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，m]上的最小值是2，最大值是3，则实数m的取值范围是________．答案[1,2]解析∵f(x)＝(x－1)2＋2≥2，∴x＝1∈[0，m]．∴m≥1.①∵f(0)＝3，而3是最大值．∴f(m)≤3⇒m2－2m＋3≤3⇒0≤m≤2.②由①②知：1≤m≤2，故应填[1,2]．15．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案大－3解析∵f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比，∴b2＝a·c，∴a0.∴f(x)有最大值，最大值为c－b24a＝－3.16．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a的取值范围为________；②恒成立，则a的取值范围为________．答案a15a3解析①f(x)a在区间[1,3]上恒有解，等价于a[f(x)]max，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，当x＝3时，[f(x)]max＝15，故a的取值范围为a15.②f(x)a在区间[1,3]上恒成立，等价于a[f(x)]min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，当x＝1时，[f(x)]min＝3，故a的取值范围为a3.17．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．答案(1)最小值－1，最大值35(2)a≤－6或a≥4(3)单调递增区间(0,6]，单调递减区间[－6,0]解析(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]，x2－2x＋3，x∈[－6，0].∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．18．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a0)，设f(x)＝x的两个实根为x1，x2.(1)如果b＝2且|x2－x1|＝2，求实数a的值；(2)如果x12x24，设函数f(x)的对称轴为x＝x0，求证：x0－1.答案(1)a＝2－12(2)略解析(1)若b＝2，则f(x)＝ax2＋2x＋1.由f(x)＝x，得ax2＋2x＋1＝x.即ax2＋x＋1＝0.由|x2－x1|＝2，得(x2－x1)2＝4.∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4.∴(1a)2－41a＝4，得a＝2－12(a0)．(2)由f(x)＝x，得ax2＋bx＋1＝x.即ax2＋(b－1)x＋1＝0.设g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1，则g20，g40，即4a＋2b－10，16a＋4b－30.画出点(a，b)的平面区域知该区域内有点均满足2a－b0.从而2ab，∴x0＝－b2a－1.1．(2013·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()A．a0,4a＋b＝0B．a0,4a＋b＝0C．a0,2a＋b＝0D．a0,2a＋b＝0答案A解析由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)f(1)，∴f(x)先减后增，∴a0，选A.2．已知f(x)是二次函数，且函数y＝lnf(x)的值域为[0，＋∞)，则f(x)的表达式可以是()A．y＝x2B．y＝x2＋2x＋2C．y＝x2－2x＋3D．y＝－x2＋1答案B解析由题意可知f(x)≥1.3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．[2－2，2＋2]B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)答案B解析由题可知f(x)＝ex－1－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]．即－b2＋4b－3－1，解得2－2b2＋2.4．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1B．a≥0C．a≤3D．a≤1答案A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1，则f(0)＝10.(1)当－a－12≤0即a≥1时，恒成立．(2)当－a－120即a1时，由Δ＝(a－1)2－4≤0，得－1≤a≤3.∴－1≤a1，综上：a≥－1.5．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________.答案9或25解析y＝8(x－m－116)2＋m－7－8·(m－116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8·(m－116)2＝0，∴m＝9或25.6．已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝________.答案1解析∵y＝|(x－1)2－t－1|，∴对称轴为x＝1.若－t－10，即t－1时，则当x＝1或x＝3时为最大值，即|1－2－t|＝t＋1＝2或9－6－t＝2，得t＝1；若－t－1≥0，即t≤－1时，则当x＝3时为最大值，即9－6－t＝2，t无解．故得t＝1.7．(2015·北京丰台期末)若f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，其中a≤b≤c，对于下列结论：①f(b)≤0；②若b＝a＋c2，则∀x∈R，f(x)≥f(b)；③若b≤a＋c2，则f(a)≤f(c)；④f(a)＝f(c)成立的充要条件为b＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案①②③解析f(b)＝(b－a)(b－b)＋(b－b)(b－c)＋(b－c)·(b－a)＝(b－c)(b－a)，因为a≤b≤c，所以f(b)≤0，①正确；将f(x)展开可得f(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac，又抛物线开口向上，故f(x)min＝f(a＋b＋c3)．当b＝a＋c2时，a＋b＋c3＝b，所以f(x)min＝f(b)，所以②正确；f(a)－f(c)＝(a－b)(a－c)－(c－a)(c－b)＝(a－c)(a＋c－2b)，因为a≤b≤c，且2b≤a＋c，所以f(a)≤f(c)，③正确；因为a≤b≤c，所以当f(a)＝f(c)时，即(a－c)(a＋c－2b)＝0，所以a＝b＝c或a＋c＝2b，故④不正确．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解析(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]，∴