新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练13

题组层级快练(十三)1．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案C解析设f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－10，f(3)＝log33＋3－3＝10.∴f(x)＝0在(2,3)内有零点．又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．2．(2015·衡水调研卷)方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析(数形结合法)∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图像如图，∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点．3．函数f(x)＝lnx－x2＋2xx0，2x＋1x≤0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案D解析依题意，在考虑x0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.4．(2014·湖北文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}答案D解析当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x0时，由f(x)是奇函数，得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－7(正根舍去)．故选D.5．(2015·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝(14)x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析函数f(x)＝(14)x－cosx的零点个数为(14)x－cosx＝0⇒(14)x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝(14)x与g(x)＝cosx的图像的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上()A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案C解析由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)．令f(x)＝0，得x＝－1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．7．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点答案B解析原函数f(x)＝x－cosx可理解为幂函数x12与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且2π1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.8．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根答案C解析求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，1)D．(1，＋∞)答案A解析只需f(－1)f(1)0，即(a＋2)(a－2)0，故a∈(－2,2)．10．(2015·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0答案B解析设g(x)＝11－x，由于函数g(x)＝11－x＝－1x－1在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)0，在(x0，＋∞)上f(x2)0，故选B.11．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)答案C解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1.当a≠0时，若Δ0，f(0)·f(1)0，则a1.若Δ＝0，即a＝－18，函数的零点是x＝－2，故选C.12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac答案A解析在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝－x，y＝log2x的图像，结合函数y＝2x与y＝－x的图像可知其交点横坐标小于0，即a0；结合函数y＝log2x与y＝－x的图像可知其交点横坐标大于0且小于1，即0b1；令log2x－2＝0，得x＝4，即c＝4.因此有abc，选A.13．(2015·东营模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则[x0]等于________．答案214．设函数f(x)＝2x，x≤0，log2x，x0，函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为________．答案2解析当x≤0时，y＝f[f(x)]－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，表明此时y＝f[f(x)]－1无零点．当x0时，分两种情况：①当x1时，log2x0，y＝f[f(x)]－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，令log2(log2x)－1＝0，即log2(log2x)＝1，log2x＝2，解得x＝4；②当0x≤1时，log2x≤0，y＝f[f(x)]－1＝f(log2x)－1＝2log2x－1＝x－1，令x－1＝0，解得x＝1，因此函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为2.15．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________．答案7解析当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1，∵f(x＋2)＝f(x)，∴y＝f(x)在[0,6)上有6个零点．又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.16．判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．答案有一个零点解析∵f(－1)＝－4＋1＋23＝－730，f(1)＝4＋1－23＝1330，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2(x－12)2，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92，∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数．∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．17．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．答案m＝－2，零点是x＝0解析方法一：令2x＝t，则t0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0仅有一正根，而g(0)＝10，故Δ＝m2－4＝0，－m20.∴m＝－2.方法二：令2x＝t，则t0.原函数的零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根．∴t2＋1＝－mt.∴－m＝t2＋1t＝t＋1t(t0)．有一个零点，即方程只有一根．∵t＋1t≥2(当且仅当t＝1t即t＝1时)，∴－m＝2即m＝－2时，只有一根．注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数．1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在区间为()A．(－14，0)B．(0，14)C．(14，12)D．(12，34)答案C解析因为f(14)＝e14＋4×14－3＝e14－20，f(12)＝e12＋4×12－3＝e12－10，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(14，12)．2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由已知得f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝e－1－30，f(1)＝e＋30，因此f(x)的零点个数是1，故选B.3．(2015·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.4．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0答案D解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12.又因为x1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.故选D.