教辅：新课标版数学（理）高三总复习之：第10章计数原理和概率-单元测试卷

第十章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派的方法．下面是学生提供的四种计算方法，其中错误的算法为()A．C12C448＋C22C348B．C550－C548C．C12C449D．C12C449－C348答案C2．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.16B.536C.112D.12答案C解析要使log2xy＝1，则要求2x＝y，∴出现的基本事件数为3，∴概率为336＝112.3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5答案C解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.4．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()A.122B.111C.322D.211答案D解析分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有C13C13种取法，因此所求的概率为C23＋C13C13C212＝211.5．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为(精确到0.01)()A．0.942B．0.205C．0.737D．0.993答案A解析P＝C35×0.83×0.22＋C450.84×0.2＋C550.85≈0.942.6．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了()A．9局B．11局C．13局D．18局答案A解析由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为5＋6－2＝9.7．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)．若P(X≥1)＝34，则P(Y≥1)＝()A.12B.23C.34D.78答案D8．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋3cosx≤1”发生的概率为()A.14B.13C.12D.23答案C解析由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A表示取出的x满足sinx＋3cosx≤1这样的事件，对条件变形为sin(x＋π3)≤12，即事件A包含的区域长度为π2.∴P(A)＝π2π＝12.9．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E(ξ)的值为()A．4B．5C．4.5D．4.7答案C解析X的取值为3,4,5.P(X＝3)＝1C25＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝35，∴E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5.10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σXμ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P(5X6)＝()A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.2718答案B解析P(5X6)＝12[P(4－2X4＋2)－P(4－1X4＋1)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，故选B.11．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为()A.581B.1481C.2281D.2581答案B解析前4次只取到2种颜色，数量可能为1种1次，另1种3次，或2种均2次，最后一球有C13种选择，故所求概率为P＝C132C14＋C2435＝1481，故选B.12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝()A.827B.1681C.113D.6581答案C解析ξ＝1时，P1＝C04(13)4(23)0＝134，ξ＝2时，P2＝C14(13)3·23＝834，ξ＝3时，P3＝C24·(13)2·(23)2＝2434，ξ＝4时，P4＝C34(13)·(23)3＝3234，ξ＝5时，P5＝C44(23)4＝1634，E(ξ)＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若(x2－1x)n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．答案255解析展开式(x2－1x)n的通项为Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·(－1x)k＝Ckn(－1)kx2n－3k，因为含x的项为第6项，所以k＝5,2n－3k＝1，解得n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28.又因为a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝28－1＝255.14．随机变量X的分布列为X01mP15n310若E(X)＝1.1，则D(X)＝________.答案0.49解析由分布列的性质得15＋n＋310＝1，所以n＝12.又E(X)＝0×15＋1×12＋m×310＝1.1，解得m＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.15．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．答案10解析由题意知，P(ξ110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.16.如图，已知抛物线y＝－x2＋1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是________．答案34解析设抛物线y＝－x2＋1与x轴正半轴及y轴的正半轴所围成的区域的面积为S，则S＝01(－x2＋1)dx＝(－13x3＋x)|10＝23，S△AOB＝12×1×1＝12，故点P落在△AOB内的概率是S△AOBS＝34.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)安排5名歌手的演出顺序时．(1)要求某名歌手不第一个出场，有多少种不同的排法？(2)要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，有多少种不同的排法？答案(1)96(2)78解析(1)C14A44＝96种．(2)方法一：A55－2A44＋A33＝78种．方法二：分两步完成任务：第一步：先排两名特殊歌手有4＋3＋3＋3＝13种；第二步：排另外三人有A33＝6种，故排法种数共有：13×6＝78种．18．(本小题满分12分)一个口袋中有2个白球和n个红球(n≥2，且n∈N*)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．(1)试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率p；(2)若n＝3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值．答案(1)p＝n2－n＋2n2＋3n＋2(2)54125(3)n＝2时，f(p)取最大值解析(1)一次摸球从n＋2个球中任选两个，有C2n＋2种选法，其中两球颜色相同有C2n＋C22种选法，∴一次摸球中奖的概率p＝C2n＋C22C2n＋2＝n2－n＋2n2＋3n＋2.(2)若n＝3，则一次摸球中奖的概率是p＝25，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是p3(1)＝C13×p×(1－p)2＝54125.(3)设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f(p)＝C13·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p,0p1.∵f′(p)＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，∴f(p)在(0，13)上是增函数，在(13，1)上是减函数．∴当p＝13时，f(p)取最大值．由n2－n＋2n2＋3n＋2＝13，解得n＝2.∴n＝2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．19．(本小题满分12分)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．(1)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件的概率；(2)从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望．答案(1)0.7(2)1解析(1)由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1,2,3.从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”为A，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B，则P(A)＝C25C26，P(AB)＝C25－C23C26，所求概率为P(B|A)＝PABPA＝C25－C23C25＝0.7.(2)X的可能取值为0,1,2.P(x＝i)＝Ci2C3－i4C36，i＝0,1,2.X的分布列为X012P0.20.60.2X的期望为E(X)＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1.20．(本小题满分12分)(2015·沧州七校联考)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？答案(1)0.9544(2)1365解析∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内的取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365人．21．(本小题满分12分)李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．答案(1)12(2)2730(3)选择路线L2上班更好解析(1)设“走路线L1最多遇到1次红灯”为事件A，则P(A)＝C03×(12)3＋C13×12×(12)2＝12.所以走路线L1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110，P(X＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920，P(X＝2)＝34×35＝920.随机变量X的分布列为X0