新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练2

题组层级快练(二)1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；④“若ab是无理数，则ab是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B2．(2015·郑州质检)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0答案D解析a＝b＝0是a＝0，且b＝0的意思，含有“且”“或”语句在否定时的规律是“且”变为“或”，“或”要变为“且”．3．“a1”是“1a1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B4．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析ab＝0⇒/a＝0，但a＝0⇒ab＝0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.5．(2013·山东)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分而不必要条件．6．下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b3答案A解析由ab＋1，得ab＋1b，即ab，而由ab不能得出ab＋1，因此，使ab成立的充分不必要条件是ab＋1，选A.7．若x，y∈R，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是()A．甲：xy＝0乙：x2＋y2＝0B．甲：xy＝0乙：|x|＋|y|＝|x＋y|C．甲：xy＝0乙：x，y至少有一个为零D．甲：xy乙：xy1答案B解析选项A：甲：xy＝0即x，y至少有一个为0，乙：x2＋y2＝0即x与y都为0.甲/⇒乙，乙⇒甲．选项B：甲：xy＝0即x，y至少有一个为0，乙：|x|＋|y|＝|x＋y|即x，y至少有一个为0或同号．故甲⇒乙且乙/⇒甲．选项C：甲⇔乙，选项D，由甲xy知当y＝0，x0时，乙不成立，故甲/⇒乙．8．在△ABC中，设p：asinB＝bsinC＝csinA；q：△ABC是正三角形，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若p成立，即asinB＝bsinC＝csinA，由正弦定理，可得ab＝bc＝ca＝k.∴a＝kb，b＝kc，c＝ka，∴a＝b＝c.则q：△ABC是正三角形成立．反之，若a＝b＝c，∠A＝∠B＝∠C＝60°，则asinB＝bsinC＝csinA.因此p⇒q且q⇒p，即p是q的充要条件．故选C.9．(2015·《高考调研》原创题)“(m－1)(a－1)0”是“logam0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析(m－1)(a－1)0等价于m1，a1或m1，a1，而logam0等价于m1，a1或0m1，0a1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m＝0，a＝0时，不能得出logam0，故选B.10．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|答案C解析因为a|a|＝b|b|，则向量a|a|与b|b|是方向相同的单位向量，所以a与b共线同向，即使a|a|＝b|b|成立的充分条件为C项．11．(2014·天津理)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝x2，x≥0，－x2，x＜0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.12．(1)“xy0”是“1x1y”的________条件．(2)“tanθ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案(1)充分不必要(2)充分不必要解析(1)1x1y⇒xy·(y－x)0，即xy0或yx0或x0y.(2)题目即判断θ＝π4是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．13．如果对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|1”是“〈x〉＝〈y〉”的________条件．答案必要不充分解析可举例子，比如x＝－0.5，y＝－1.4，可得〈x〉＝0，〈y〉＝－1；比如x＝1.1，y＝1.5，〈x〉＝〈y〉＝2，|x－y|1成立．因此“|x－y|1”是〈x〉＝〈y〉的必要不充分条件．14．已知A为xOy平面内的一个区域．命题甲：点(a，b)∈{(x，y)|x－y＋2≤0，x≥0，3x＋y－6≤0}；命题乙：点(a，b)∈A.如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是________．答案2解析设x－y＋2≤0，x≥0，3x＋y－6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN为集合B.由题意，甲是乙的充分条件，则B⊆A，所以区域A面积的最小值为S△PMN＝12×4×1＝2.15．“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的________条件．答案充分不必要解析当a＝14时，对任意的正数x，x＋ax＝x＋14x≥2x·14x＝1，而对任意的正数x，要使x＋ax≥1，只需f(x)＝x＋ax的最小值大于或等于1即可，而在a为正数的情况下，f(x)＝x＋ax的最小值为f(a)＝2a≥1，得a≥14，故充分不必要．16．已知命题p：|x－2|a(a0)，命题q：|x2－4|1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案0a≤5－2解析由题意p：|x－2|a⇔2－ax2＋a，q：|x2－4|1⇔－1x2－41⇔3x25⇔－5x－3或3x5.又由题意知p是q的充分不必要条件，所以有－5≤2－a，2＋a≤－3，a0，①或3≤2－a，2＋a≤5，a0，②.由①得a无解；由②解得0a≤5－2.17．已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．答案略解(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.(用反证法证明)假设a＋b0，则有a－b，b－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)f(－b)，f(b)f(－a)．∴f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛看，故假设不成立．从而a＋b≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)，则a＋b0.原命题为真，证明如下：∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴其逆否命题也为真命题．18．(2015·江苏兴化月考)已知命题：“∃x∈{x|－1x1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．答案(1){m|－14≤m2}(2)(－∞，－14)∪(94，＋∞)解析(1)由题意知，方程x2－x－m＝0在(－1,1)上有解，即m的取值范围就为函数y＝x2－x在(－1,1)上的值域，易知M＝{m|－14≤m2}．(2)因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N.当a＝1时，解集N为空集，不满足题意；当a1时，a2－a，此时集合N＝{x|2－axa}，则2－a－14，a≥2，解得a94；当a1时，a2－a，此时集合N＝{x|ax2－a}，则a－14，2－a≥2，解得a－14.综上，a94或a－14.1．0＜x＜2是不等式|x＋1|＜3成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由|x＋1|3，得－4x2.2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由α＝π6＋2kπ(k∈Z)，知2α＝π3＋4kπ(k∈Z)，则cos2α＝cosπ3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2kπ±π3，即α＝kπ±π6(k∈Z)，故选A.3．(2015·青岛一模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由已知，a＋b＝(2,2＋m)．若m＝－6，则a＋b＝(2，－4)，a∥(a＋b)成立；若a∥(a＋b)，则2－1＝m＋22，m＝－6，所以“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，选A.4．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.5．(2015·烟台一模)以q为公比的等比数列{an}中，a10，则“a1a3”是“q1”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在等比数列中，若a10，则由a1a3，可得q21，即q1或q－1.由“q1”可推得“q1或q－1”成立，但是反之不成立，故“a1a3”是“q1”的必要而不充分条件，故选A.6．(2015·东北三省一模)已知p：x≥k，q：3x＋11，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]答案B解析∵q：3x＋11，∴3x＋1－10，∴2－xx＋10.∴(x－2)·(x＋1)0，∴x－1或x2.因为p是q的充分不必要条件，所以k2，故选B.7．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m1”是真命题B．逆否命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题答案D解析f′(x)＝ex－m≥0，∴m≤ex.又∵x0，∴ex1.∴m≤1，故原命题正确，因此选D.8．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题有________个．答案2解析逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b