新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练7

题组层级快练(七)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|答案D解析由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B，C，由y＝x|x|的图像可知当x0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知f(x)为奇函数，当x0，f(x)＝x(1＋x)，那么x0，f(x)等于()A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x)D．x(1＋x)答案B解析当x0时，则－x0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案A解析由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．4．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．2B．1C．0D．－2答案D解析由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)答案D解析由f(x)＋g(x)＝ex，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减，可得g(x)＝ex－e－x2，选D.6．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数答案A7．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是()A．1B．4C．3D．2答案B解析由f(2)＝0，得f(5)＝0.∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．8．(2015·深圳一调)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2015)的值为()A．2B．0C．－2D．±2答案A解析∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.∴f(2015)＝f(3)＝2.9．(2014·湖南理)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3答案C解析用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝()A．1B．－1C.14D．－114答案B11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．答案012．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－52)＝________.答案－12解析依题意，得f(－52)＝－f(52)＝－f(52－2)＝－f(12)＝－2×12×(1－12)＝－12.13．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．答案(0,1)解析f(x)的图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．答案－415．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(512)的大小关系是__________．答案f(512)f(－1)f(4)解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称．又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，∴f(512)＜f(－1)＜f(4)．16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的函数，①正确．f(x)关于直线x＝1对称，②正确．f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③，④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．17．(2015·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2013)＋f(－2014)的值．答案(1)f(0)＝0，f(2)＝0(2)f(3)＝－1(3)1解析(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2013)＋f(－2014)＝f(2013)＋f(2014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2013)＋f(－2014)＝1.18．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．答案－4解析由题意知，当x0时，F(x)≤8.∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x0时，－x0.∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.1．已知f(x)是在R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(3)＝________；f(2019)＝________.答案00解析在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0.又f(x)是R上的奇函数，故f(3)＝0.即f(x＋6)＝f(x)，知f(x)是周期为6的周期函数，从而f(2019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝0.2．若f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为________．答案{x|－12＜x＜14}解析∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，∴f(x)在(－1,0)上也是增函数．∴f(x)在(－1,1)上为增函数．f(x)＋f(x－12)＜0⇔f(x)＜－f(x－12)＝f(12－x)⇔－1＜x＜1，－1＜12－x＜1，x＜12－x⇔－12＜x＜14.∴不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为{x|－12＜x＜14}．